Übungen - Ableitungsregeln
Aufgabe 1
Bestimme jeweils die Ableitungsfunktion.
| Ausgangsfunktion | Ableitungsfunktion |
| $f(x) = x^3 - 4x^2$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = 4x^4 + 2x^2 + 1$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = 7x$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = x + 1$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = -x^3 + 2x$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = 2x^{-1}$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = \frac{2}{x^4}$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = \sqrt{x} - 1/\sqrt{x}$ | $f'(x) = ...$ |
Aufgabe 2
(a) Was fällt auf, wenn man die Ableitungsfunktionen bestimmt?
| Ausgangsfunktion | Ableitungsfunktion |
| $f(x) = x^2 + 1$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = x^2 + 2$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = x^2 - 1$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = x^3 - x$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = x^3 - x - 1$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = x^3 - x + 4.5$ | $f'(x) = ...$ |
(b) Rekonstruiere eine Ausgangsfunktion. Warum ist diese Rekonstruktion (die man auch "Aufleiten" nennen kann) nicht eindeutig?
| Ausgangsfunktion | Ableitungsfunktion |
| $f(x) = ...$ | $f'(x) = 4x^3$ |
| $f(x) = ...$ | $f'(x) = x^2$ |
| $f(x) = ...$ | $f'(x) = 2x + 1$ |
| $f(x) = ...$ | $f'(x) = -6x^3 + 6x^2 - x$ |
Aufgabe 3
Namen sind "Schall und Rauch", man kann sie durch andere Namen ersetzen ohne dass sich der beschriebene Sachverhalt dadurch ändert. Das gilt auch für Funktionen. Man kann die Funktionsvariable und den Funktionsnamen ändern. Das hat aber keine Auswirkungen auf die Bestimmung der Ableitungsfunktionen. Verdeutliche das anhand der Beispiele in der Tabelle.
| Ausgangsfunktion | Ableitungsfunktion |
| $g(x) = x^2 - 2x + 1$ | $g'(x) = ...$ |
| $h(x) = x - x^2$ | $h'(x) = ...$ |
| $f(z) = z^4 + 2z^2 - 1$ | $f'(z) = ...$ |
| $f(t) = 4t$ | $f'(t) = ...$ |
| $s(t) = 5 t^2$ | $s'(t) = ...$ |
| $v(t) = 10t$ | $v'(t) = ...$ |
Aufgabe 4
Wandle die folgenden Funktionen in Potenzfunktionen um und leite sie ab:
| Ausgangsfunktion | Ausgangsfunktion als Potenzfunktion | Ableitungsfunktion |
| $f(x) = 1$ | $f(x) = x^0$ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = \sqrt[3]{x}$ | $f(x) = $ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = \frac{1}{x^2}$ | $f(x) = $ | $f'(x) = ...$ |
| $f(x) = \sqrt[4]{x^3}$ | $f(x) = $ | $f'(x) = ...$ |
Wenn du Hilfe beim Umwandeln in Potenzfunktionen brauchst, vollziehe dieses Video zu besonderen Exponenten bei Potenzen und Wurzeln nach und nutze die Übersicht am Ende des Videos: Youtube-Video von Lehrerschmidt.
Aufgabe 5
(a) Begründe mit der Summen- und Faktorregel, dass auch die folgende Differenzenregel gilt.
Differenzenregel: Wenn $f(x) = u(x) - v(x)$, dann gilt $f'(x) = u'(x) - v'(x)$.
Tipp: $f(x) = u(x) - v(x) = u(x) + (-1)\cdot v(x)$.
(b) Begründe mit einem Gegenbeispiel, dass die folgende Regel für Produkte von Funktionen nicht gilt:
Regel: Wenn $f(x) = u(x) \cdot v(x)$, dann gilt $f'(x) = u'(x) \cdot v'(x)$.
Tipp: Betrachte z.B. $u(x) = x^2$ und $v(x) = x^3$.
