Erarbeitung

Zur Orientierung

Wir bearbeiten hier diese Fragestellung:

Das Vorgehen bei der Bestimmung von Ableitungswerten war bisher experimentell. Wir haben die mittlere Änderungsrate $m(x,x+h)$ für immer kleinere Schrittweiten $h$ bestimmt. Durch eine genaue Beobachtung der Entwicklung dieser mittleren Änderungsraten haben wir versucht, den resultierenden Grenzwert abzuschätzen. Das Applet unterstützt dieses Vorgehen.

Anleitung für das Applet

• Im oberen Fenster kann man die betrachtete Funktion durch Eingabe des Funktionsterms festlegen.
• Den Punkt $P$ kann man auf dem Funktionsgraph hin und her bewegen. Alternativ kann man die $x$-Koordinate im entsprechenden Eingabefeld festlegen.
• Die Schrittweite $h$ kann man mit dem Schieberegler einstellen. Mit dieser Einstellung wird dann auch die Position von Punkt $Q$ auf Graph $f$ festgelegt.
• Die blau dargestellte Strecke dient hier zur Verdeutlichung der Steigung des Funktionsgraphen im Punkt $P$.

Zum Herunterladen: ableitung2.ggb

Einen Ableitungswert rechnerisch bestimmen

Wir betrachten zunächst die Stelle $x=1$. Gib diesen $x$-Wert im Applet oben ein.

Aufgabe 1

(a) Ermittle mit Hilfe des Applets für verschiedene $h$-Werte die mittlere Änderungsrate $m(x,x+h)$ und trage sie in die Tabelle ein. Du musst hierzu die $h$-Werte mit dem Schieberegler passend einstellen.

(b) Stelle ausgehend von den berechneten Werten eine Vermutung auf, wie man die mittlere Änderungsrate direkt mit einer Formel berechnen kann, und schreibe sie in die unterste Zeile in der Tabelle.

Schrittweite	mittlere Änderungsrate
$h=1$	$m(1,2)=3$
$h=0.1$	$m(1,1.1)=\dots$
$h=0.01$	$\dots$
...
$h$	$m(1,1+h)=\dots$

Aufgabe 2

Ziel ist es, eine Formel für $m(1,1+h)$ herzuleiten. Setze hierzu die bereits begonnene Herleitung fort.

$\begin{array}{lcl}m(1,1+h)& =& {\displaystyle \frac{f(1+h)-f(1)}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{(1+h{)}^2-1^2}{h}}\\ & =& ...\end{array}$

Tipp

Benutze eine binomische Formel und vereinfache dann den Term.

Kontrolle

$\begin{array}{lcl}m(1,1+h)& =& {\displaystyle \frac{f(1+h)-f(1)}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{(1+h{)}^2-1^2}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{(1+2h+h^2)-1}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2h+h^2}{h}}\\ & =& {\displaystyle \frac{h\cdot (2+h)}{h}}\\ & =& {\displaystyle 2+h}\end{array}$

Aufgabe 3

Mit der Formel für $m(1,1+h)$ kannst du jetzt $f^{\prime }(1)$ bestimmen. Ergänze hierzu die folgende Übersicht.

$\begin{array}{ccl}m(1,1+h)& =& 2+h\\ \downarrow & h\to 0& \\ f^{\prime }(1)& =& \dots \end{array}$

Kontrolle

$\begin{array}{ccl}m(1,1+h)& =& 2+h\\ \downarrow & h\to 0& \\ f^{\prime }(1)& =& 2\end{array}$

Aufgabe 4

Überprüfe mit dem Applet, ob der ermittelte Wert für $f^{\prime }(1)$ plausibel ist.

Weitere Ableitungswerte rechnerisch bestimmen

(a) Das Vorgehen für die Stelle $x=1$ kann man auf beliebige andere Stellen übertagen. Wähle dir einen (noch nicht bearbeiteten) $x$-Wert aus der folgenden Tabelle aus und bestimme selbstständig die Ableitung für diesen $x$-Wert.

Hinweis

Hier ist arbeitsteiliges Vorgehen günstig. Die zu bearbeitenden $x$-Werte werden in der Lerngruppe aufgeteilt. So erhält man möglicherweise alle fehlenden Einträge in der Tabelle.

$x$	-2	-1	0	1	2
$f^{\prime }(x)$				2

(b) Zur Kontrolle: Vergleiche die rechnerisch ermittelten Ableitungswerte mit den experimentell ermittelten im letzten Abschnitt.