Erkundung - Rekonstruktion eines Bestandes
Von der Änderungsrate zum Bestand
Die Rekonstruktion eines Bestandes aus der zugehörigen Änderungsrate haben wir im Kapitel Rekonstruktion eines Bestandes als Ausgangspunkt zur Einführung des Integrals benutzt. Die dort behandelten Zusammenhänge beschreiben wir hier mit den inzwischen eingeführten Konzepten aus der Integralrechnung.
Ausgangspunkt aller Betrachtungen ist die folgende Problemsituation:
Gegeben ist eine Funktion $B'(x)$, die die lokale Änderungsrate eines Bestandes beschreibt.
Gesucht ist eine Funktion $B(x)$, die die Entwicklung des Bestandes erfasst.
Die Zusammenhänge lassen sich sehr gut im Kontext "Zufluss-Abfluss-Systeme" verdeutlichen.
In diesem Kontext beschreibt der Bestand $B(x)$ die Füllmenge eines Behälters zum Zeitpunkt $x$. Die lokale Änderungsrate $B'(x)$ beschreibt die momentane Zuflussrate zum Zeitpunkt $x$ (d.h. wieviel Flüssigkeit pro Zeiteinheit zum Zeitpunkt $x$ hinzu- oder abfließt).
Einen einfachen Fall betrachten
Im einfachen Fall betrachten wir eine vorgegebene Änderungsratenfunktion $B'(x)$, die abschnittweise konstant ist und damit als Treppenfunktion bezeichnet werden kann.
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren1.ggb
Aufgabe 1
(a) Gehe davon aus, dass für den Anfangsbestand $B(x_0) = 0$ gilt (hier mit $x_0 = 0$). Erläutere anhand des Applets, wie man $B(6)$ aus dem Verlauf von $B'(x)$ erhält.
(b) Erläutere allgemein: Die jeweiligen Bestände $B(x)$ kann man mit Hilfe von Produktsummen berechnen und als orientierte Flächeninhalte deuten.
Den allgemeinen Fall betrachten
Im allgemeinen Fall betrachten wir eine beliebige Änderungsratenfunktion $B'(x)$.
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren3b.ggb
Aufgabe 2
(a) Erläutere anhand des Applet: Eine beliebige Änderungsratenfunktion kann man mit Treppenfunktionen annähern. Je kleiner man die Breite der Treppenstufen wählt, desto besser wird die Annäherung der Treppenfunktionen an die vorgegebene Änderungsratenfunktion. Man erhält dann auch bessere Abschätzungen bei der Bestandsrekonstruktion.
(b) Gehe davon aus, dass für den Anfangsbestand $B(x_0) = 0$ gilt (hier mit $x_0 = 0$). Erläutere: $B(x_1)$ kann man als Integral darstellen.
$B(x_1) = \int\limits_{x_0}^{x_1} B'(x) dx$
Einen Anfangsbestand berücksichtigen
In einem Zufluss-Abfluss-System kann zu Beginn bereits ein Anfangsbestand $B(x_0)$ vorliegen, wenn der Behälter nicht ganz leer ist. Wir berücksichtigen das hier. Im Applet kannst du den Anfangsbestand mit dem entsprechenden Punkt auf der $y$-Achse einstellen.
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren4b.ggb
Aufgabe 3
Erläutere die um den Anfangsbestand erweiterte Formel zur Rekonstruktion eines Bestandes.
$B(x_1) = B(x_0) + \int\limits_{x_0}^{x_1} B'(x) dx$
Beschreibe sie auch in Worten: "Man erhält den Bestand $B(x_1)$ zu einem Zeitpunkt $x_1$, indem man ..."
