Erkundung – Rekonstruktion eines Bestandes
Von der Änderungsrate zum Bestand
Die Rekonstruktion eines Bestandes aus der zugehörigen Änderungsrate haben wir im Kapitel Rekonstruktion eines Bestandes als Ausgangspunkt zur Einführung des Integrals benutzt. Die dort behandelten Zusammenhänge beschreiben wir hier mit den inzwischen eingeführten Konzepten aus der Integralrechnung.
Ausgangspunkt aller Betrachtungen ist die folgende Problemsituation:
Gegeben ist eine Funktion $B'$, die die lokale Änderungsrate eines Bestandes beschreibt.
Gesucht ist eine Funktion $B$, die die Entwicklung des Bestandes erfasst.
Die Zusammenhänge lassen sich sehr gut im Kontext "Zufluss-Abfluss-Systeme" verdeutlichen.
In diesem Kontext beschreibt der Bestand $B(x)$ die Füllmenge eines Behälters zum Zeitpunkt $x$. Die lokale Änderungsrate $B'(x)$ beschreibt die momentane Zuflussrate zum Zeitpunkt $x$ (d.h. wie viel Flüssigkeit pro Zeiteinheit zum Zeitpunkt $x$ hinzu- oder abfließt).
Einen einfachen Fall betrachten
Im einfachen Fall betrachten wir eine vorgegebene Änderungsratenfunktion $B'$, die abschnittsweise konstant ist und damit als Treppenfunktion bezeichnet werden kann.
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren1.ggb
Aufgabe 1 (Einstieg) ★
(a) Gehe davon aus, dass für den Anfangsbestand $B(x_0) = 0$ gilt (hier mit $x_0 = 0$). Erläutere anhand des Applets, wie $B(6)$ aus dem Verlauf von $B'$ erhalten wird.
(b) Erläutere allgemein: Die jeweiligen Bestände $B(x)$ können mit Hilfe von Produktsummen berechnet und als orientierte Flächeninhalte gedeutet werden.
Den allgemeinen Fall betrachten
Im allgemeinen Fall betrachten wir eine beliebige Änderungsratenfunktion $B'(x)$.
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren3b.ggb
Aufgabe 2 (Einstieg) ★★
(a) Erläutere anhand des Applet: Eine beliebige Änderungsratenfunktion kann mit Treppenfunktionen angenähert werden. Je kleiner die Breite der Treppenstufen gewählt wird, desto besser wird die Annäherung der Treppenfunktionen an die vorgegebene Änderungsratenfunktion. Dadurch ergeben sich auch bessere Abschätzungen bei der Bestandsrekonstruktion.
(b) Gehe davon aus, dass für den Anfangsbestand $B(x_0) = 0$ gilt (hier mit $x_0 = 0$).
Erläutere: $B(x_1)$ lässt sich als das folgende Integral darstellen:
$B(x_1) = \int\limits_{x_0}^{x_1} B'(x) dx$
Einen Anfangsbestand berücksichtigen
In einem Zufluss-Abfluss-System kann zu Beginn bereits ein Anfangsbestand $B(x_0)$ vorliegen, wenn der Behälter nicht ganz leer ist. Im Applet kannst du den Anfangsbestand mit dem entsprechenden Punkt auf der $y$-Achse einstellen.
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren4b.ggb
Aufgabe 3 (Einstieg) ★★★
Erläutere die um den Anfangsbestand erweiterte Formel zur Rekonstruktion eines Bestandes.
$B(x_1) = B(x_0) + \int\limits_{x_0}^{x_1} B'(x) dx$
Beschreibe die Formel auch in Worten: "Den Bestand $B(x_1)$ zu einem Zeitpunkt $x_1$ erhalten wir, indem wir $\dots$"
