Ein Flächenberechnungsproblem

Planung eines Kanals

Eine Baufirma soll den Erdaushub für einen Wasserkanal planen. Der Kanal soll (ungefähr) pararabelförmig geformt werden. Mit der ausgehobenen Erde sollen (ebenfalls ungefähr parabelförmige) Uferhügel angelegt werden.

Eine mathematische Modellierung

Das Applet zeigt einen Entwurf der Baufirma. Zuerst sollst du dich mit ihm vertraut machen.

Aufgabe 1: Vorbereitung

(a) Aus welcher Perspektive „schaut“ dieses Applet auf den Kanal? Wie tief und wie breit ist der Kanal in etwa?

(b) Überprüfe, welche Auswirkungen dir drei Schieberegler haben. Was geschieht, wenn du die Punkte auf der $x$-Achse verschiebst?

(c) Kannst du bereits Zusammenhänge zwischen den drei Funktionsgleichungen und den Graphen erkennen (oder sogar begründen)?

Tipp

Betrachte erst die Nullstellen: Was musst du (als $x$) in die Funktionsgleichung einsetzen, dass $0$ herauskommt? Passt das zum Applet?

Betrachte dann die Höhe der Funktion: Welcher Term bestimmt, wie hoch oder tief der Scheitelpunkt der Parabel liegt? Stelle eine Vermutung auf und überprüfe sie durch Experimente.

Setze das Applet im Anschluss zurück.

Zum Herunterladen: querschnittsflaechen.ggb

Aufgabe 2: Fragestellung

Der Erdaushub soll vollständig zum Bau der beiden Hügel genutzt werden. Welches Flächenberechnungsproblem ergibt sich daraus bei der Begutachtung des Entwurfs der Baufirma? Formuliere das Problem (möglichst präzise).

Tipp

Formuliere das Problem erst umgangssprachlich: Der Erdaushub des Kanals soll genauso groß sein wie ...

„Übersetze“ deine Formulierung dann in Mathematik und verwende dafür Integrale wie $\int\limits_{-3}^0 h(x) dx$.

Aufgabe 3: Problemlösung

Nun sollst du die Fragestellung aus Aufgabe 2 – möglichst selbstständig – beantworten. Wenn du dafür mehr Anleitung benötigst, rufe die nächste Seite auf.