Zusammenfassung – Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse
Flächenberechnung mit dem Integral
Betrachte die folgende Problemsituation:
Gegeben ist eine Randfunktion $f$ sowie ein Intervall $a \leq x \leq b$.
Gesucht ist der Flächeninhalt der gesamten Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse im Intervall $a \leq x \leq b$.
Das Applet verdeutlicht diese Problemsituation für die Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ und das Intervall $-1.5 \leq x \leq 2.5$.
Zum Herunterladen: flaechenrechner1.ggb
Das Integral liefert orientierte Flächeninhalte. Die Flächenstücke unterhalb der $x$-Achse werden dabei negativ gewertet.
Wenn Flächeninhalte von Flächen zwischen einem Funktionsgraph und der $x$-Achse mit dem Integral bestimmen werden sollen, dann ist darauf zu achten, dass das betrachtete Flächenstück vollständig oberhalb oder vollständig unterhalb der $x$-Achse liegt. Der Betrag des Integrals zu diesem Flächenstück liefert dann den Flächeninhalt des betrachteten Flächenstücks. Befinden sich Teile des Funktionsgraphen oberhalb und Teile unterhalb der $x$-Achse hat, dann muss das betrachtete Intervall in geeignete Teilintervalle aufgeteilt werden.
Wir verdeutlichen das Vorgehen anhand der Problemsituation im Applet.
Betrachte die Funktion $f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ und das Intervall $-1.5 \leq x \leq 2.5$.
Die Funktion $f$ hat die Nullstellen $-1$, $1$ und $2$. Den Flächeninhalt $A$ der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und der $x$-Achse im Intervall $-1.5 \leq x \leq 2.5$ kann jetzt folgendermaßen berechnet werden:
$A = | \int\limits_{-1.5}^{-1} f(x) dx | + | \int\limits_{-1}^{1} f(x) dx | + | \int\limits_{1}^{2} f(x) dx | + | \int\limits_{2}^{2.5} f(x) dx | \approx 4.61$
Das folgende Applet zeigt einen alternativen Weg zur Berechnung der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse auf:
Zum Herunterladen: flaechenrechner2.ggb
Die Teile vom Graphen von $f$, die unterhalb der $x$-Achse verlaufen, werden an der $x$-Achse gespiegelt. Dies lässt sich durch die Betrachtung des Betrags der Funktion $f$ erreichen.
Betrachte die Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ und das Intervall $-1.5 \leq x \leq 2.5$. Dann:
$A = \int\limits_{-1.5}^{2.5} | f(x) | dx \approx 4.61$
