Zusammenfassung – Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse
Flächenberechnung mit dem Integral
Betrachte die folgende Problemsituation:
Gegeben ist eine Randfunktion sowie ein Intervall .
Gesucht ist der Flächeninhalt der gesamten Fläche zwischen Graph und der -Achse im Intervall .
Das Applet verdeutlicht diese Problemsituation für die Funktion mit und das Intervall .
Zum Herunterladen: flaechenrechner1.ggb
Das Integral liefert orientierte Flächeninhalte. Die Flächenstücke unterhalb der -Achse werden dabei negativ gewertet.
Wenn Flächeninhalte von Flächen zwischen einem Funktionsgraph und der -Achse mit dem Integral bestimmen werden sollen, dann ist darauf zu achten, dass das betrachtete Flächenstück vollständig oberhalb oder vollständig unterhalb der -Achse liegt. Der Betrag des Integrals zu diesem Flächenstück liefert dann den Flächeninhalt des betrachteten Flächenstücks. Befinden sich Teile des Funktionsgraphen oberhalb und Teile unterhalb der -Achse hat, dann muss das betrachtete Intervall in geeignete Teilintervalle aufgeteilt werden.
Wir verdeutlichen das Vorgehen anhand der Problemsituation im Applet.
Betrachte die Funktion und das Intervall .
Die Funktion hat die Nullstellen , und . Den Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der -Achse im Intervall kann jetzt folgendermaßen berechnet werden:
Das folgende Applet zeigt einen alternativen Weg zur Berechnung der Fläche zwischen dem Graphen von und der -Achse auf:
Zum Herunterladen: flaechenrechner2.ggb
Die Teile vom Graphen von , die unterhalb der -Achse verlaufen, werden an der -Achse gespiegelt. Dies lässt sich durch die Betrachtung des Betrags der Funktion erreichen.
Betrachte die Funktion mit und das Intervall . Dann:
