Strukturierung – Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse
Flächeninhalte mit dem Integral berechnen
Betrachte die folgende Problemsituation:
Gegeben ist eine Randfunktion $f$ sowie ein Intervall $a \leq x \leq b$.
Gesucht ist der Flächeninhalt der gesamten Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse im Intervall $a \leq x \leq b$.
Das Applet verdeutlicht diese Problemsituation für die Funktion $f$ mit Funktionsgleichung $f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ und das Intervall $-1.5 \leq x \leq 2.5$:
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Aufgabe 1 (Einstieg)
Henry schlägt folgende Formel für die blaue Fläche vor: $A = \int\limits_{-1.5}^{2.5} f(x) dx$.
Lia will stattdessen die Formel $A = \left| \int\limits_{-1.5}^{2.5} f(x) dx \right|$ nutzen und betont, dass Integrale doch orientierte Flächeninhalte seien.
Erkläre, was Lia damit meint.
Arin ist noch immer nicht zufrieden: „Da heben sich doch Flächen weg. Stattdessen müssen wir Einzelflächen addieren“.
Erkläre, was er:sie meint. Beschreibe, inwiefern sich mit Integralen der blauen Flächeninhalt bestimmen lässt. Wie könnten dafür die roten Punkte helfen?
Aufgabe 2 (Erarbeitung)
Betrachte die im Applet vorgegebene Problemsituation:
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ und das Intervall $-1.5 \leq x \leq 2.5$.
Gesucht ist der Flächeninhalt der gesamten Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse im betrachteten Intervall.
(a) Teile das Intervall passend in Teilintervalle auf und bestimme mit dem Applet die Flächeninhalte zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse zu diesen Teilintervallen.
Hinweis
Mit den roten Punkten auf der $x$-Achse kannst du das betrachtete Teilintervalle im Applet einstellen.
(b) Erläutere, warum es günstig ist, dass im Applet die Nullstellen der Funktion $f$ angezeigt werden und, warum immer der Betrag des eingestellten Integrals berechnet und angezeigt wird.
Aufgabe 3 (Erarbeitung)
Betrachte weiterhin die Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ und das Intervall $-1.5 \leq x \leq 2.5$.
Beschreibe den Flächeninhalt der gesamten Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse im betrachteten Intervall mit Hilfe von Integralen.
Nutze hierzu die folgende Darstellung:
$A = | \int\limits_{-1.5}^{-1} f(x) dx | + \dots$
Aufgabe 4 (Sicherung)
🖊️ Fülle den folgenden Wissensspeicher aus.
Aufgabe 5 (Vertiefung)
Das folgende Applet zeigt einen weiteren Weg, wie mit bei der Flächenberechnung mit dem Integral vorgegangen werden kann.
Erläutere das Vorgehen.
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