Strukturierung - Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse
Flächeninhalte mit dem Integral berechnen
Betrachte die folgende Problemsituation:
Gegeben ist eine Randfunktion $f$ sowie ein Intervall $a \leq x \leq b$.
Gesucht ist der Flächeninhalt der gesamten Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse im Intervall $a \leq x \leq b$.
Das Applet verdeutlicht diese Problemsituation für die Funktion $f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ und das Intervall $-1.5 \leq x \leq 2.5$.
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Aufgabe 1
Alfred schlägt folgende Formel für die blaue Fläche vor: $A = \int\limits_{-1.5}^{2.5} f(x) dx$. Bettina will stattdessen die Formel $A = \left| \int\limits_{-1.5}^{2.5} f(x) dx \right|$ nutzen und betont, dass Integrale doch orientierte Flächeninhalte seien. Erkläre, was Bettina damit meint.
Charlie ist noch immer nicht zufrieden: „Da heben sich doch Flächen weg. Stattdessen müssen wir Einzelflächen addieren“. Erkläre, was sie meint. Beschreibe, wie man mit Integralen den blauen Flächeninhalt bestimmen kann. Wie könnten dafür die roten Punkte helfen?
Aufgabe 2
Betrachte die im Applet vorgegebene Problemsituation: Gegeben ist die Funktion $f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ und das Intervall $-1.5 \leq x \leq 2.5$. Gesucht ist der Flächeninhalt der gesamten Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse im betrachteten Intervall.
Teile das Intervall passend in Teilintervalle auf und bestimme mit dem Applet die Flächeninhalte zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse zu diesen Teilintervallen. Mit den roten Punkten auf der $x$-Achse kannst du das betrachtete Teilintervalle im Applet einstellen.
Erläutere, warum es günstig ist, dass im Applet die Nullstellen der Funktion $f$ angezeigt werden und dass immer der Betrag des eingestellten Integrals berechnet und angezeigt wird.
Aufgabe 3
Betrachte weiterhin die Funktion $f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ und das Intervall $-1.5 \leq x \leq 2.5$. Beschreibe den Flächeninhalt der gesamten Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse im betrachteten Intervall mit Hilfe von Integralen. Ergänze hierzu die folgende Darstellung.
$A = | \int\limits_{-1.5}^{-1} f(x) dx | + ...$
Aufgabe 4
Fülle den folgenden Wissensspeicher aus.
Aufgabe 5
Das folgende Applet zeigt einen weiteren Weg, wie man mit bei der Flächenberechnung mit dem Integral vorgehen kann. Erläutere das Vorgehen.
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