Strukturierung – Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse

Flächeninhalte mit dem Integral berechnen

Betrachte die folgende Problemsituation:

Das Applet verdeutlicht diese Problemsituation für die Funktion $f$ mit Funktionsgleichung $f(x)=x^3-2x^2-x+2$ und das Intervall $-1.5\le x\le 2.5$:

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Aufgabe 1 (Einstieg)

Henry schlägt folgende Formel für die blaue Fläche vor: $A=\underset{-1.5}{\overset{2.5}{\int }}f(x)dx$.
Lia will stattdessen die Formel $A=|\underset{-1.5}{\overset{2.5}{\int }}f(x)dx|$ nutzen und betont, dass Integrale doch orientierte Flächeninhalte seien.
Erkläre, was Lia damit meint.

Arin ist noch immer nicht zufrieden: „Da heben sich doch Flächen weg. Stattdessen müssen wir Einzelflächen addieren“.

Erkläre, was er:sie meint. Beschreibe, inwiefern sich mit Integralen der blaue Flächeninhalt bestimmen lässt. Wie könnten dafür die roten Punkte helfen?

Aufgabe 2 (Erarbeitung)

Betrachte die im Applet vorgegebene Problemsituation:

(a) Teile das Intervall passend in Teilintervalle auf und bestimme mit dem Applet die Flächeninhalte zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse zu diesen Teilintervallen.

(b) Erläutere, warum es günstig ist, dass im Applet die Nullstellen der Funktion $f$ angezeigt werden und, warum immer der Betrag des eingestellten Integrals berechnet und angezeigt wird.

Aufgabe 3 (Erarbeitung)

Betrachte weiterhin die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-2x^2-x+2$ und das Intervall $-1.5\le x\le 2.5$.
Beschreibe den Flächeninhalt der gesamten Fläche zwischen Graph $f$ und der $x$-Achse im betrachteten Intervall mit Hilfe von Integralen.

Aufgabe 4 (Sicherung)

🖊️ Fülle den folgenden Wissensspeicher aus.

Aufgabe 5 (Vertiefung)

Das folgende Applet zeigt einen weiteren Weg, wie bei der Flächenberechnung mit dem Integral vorgegangen werden kann.
Erläutere das Vorgehen.

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