Beispiel – Zufluss-Abfluss-Systeme

Das Problem klären

Wir betrachten hier Zufluss-Abfluss-Systeme.

In diesem Kontext beschreibt der Bestand $B(x)$ die Füllmenge eines Behälters zum Zeitpunkt $x$. Die lokale Änderungsrate $B^{\prime }(x)$ beschreibt die momentane Zuflussrate zum Zeitpunkt $x$ (d.h. wie viel Flüssigkeit pro Zeiteinheit zum Zeitpunkt $x$ hinzu- oder abfließt).

Eine erste Anwendung betrachten

Wir betrachten ein Zufluss-Abfluss-System, in dem die Zeit $x$ in Stunden (abgekürzt: $h$) und die Wassermenge in Kubikmeter (abgekürzt: $m^3$) angegeben wird.

Die Zuflussrate wird durch die Zuflussratenfunktion $B^{\prime }(x)=x^3-8x^2+15x$ in der Einheit [m³/h] beschrieben. Das Anfangsvolumen im Behälter zum Zeitpunkt $x_0=0$ beträgt $B(x_0)=10$ [m³].

Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren4c.ggb

Aufgabe 1 (Erarbeitung) ★

(a) Beschreibe den Füllvorgang im Zufluss-Abfluss-System in Worten.

(b) Bestimme den Bestand $B(x_1)$ für $x_1=3$ (und $x_1=6$) mit Hilfe eines geeigneten Integrals. $B(x_1)$ beschreibt die Wassermenge im Behälter zum Zeitpunkt $x_1$.

(c) Bestimme auch die Bestandsfunktion $B$ durch "Aufleiten" der Funktion $B^{\prime }$. Achte darauf, dass $B(0)=10$ gelten muss.

Eine zweite Anwendung betrachten

Wir betrachten ein Zufluss-Abfluss-System, in dem die Zeit $x$ in Stunden (abgekürzt: $h$) und die Wassermenge in Kubikmeter (abgekürzt: $m^3$) angegeben wird.

Die Zuflussrate wird durch die Zuflussratenfunktion $B^{\prime }(x)=\frac{1}{4}{x}^4-8x^3+88x^2-384x+576$ in der Einheit [m³/h] beschrieben. Das Anfangsvolumen im Behälter zum Zeitpunkt $x_0=4$ beträgt $B(x_0)=0$ [m³].

Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren5.ggb

Aufgabe 2 (Erarbeitung) ★★

(a) Beschreibe den Füllvorgang im Zufluss-Abfluss-System in Worten.

(b) Bestimme den Bestand $B(x_1)$ für $x_1=12$ mit Hilfe eines geeigneten Integrals. $B(x_1)$ beschreibt die Wassermenge im Behälter zum Zeitpunkt $x_1$.

(c) Skizziere den Graph der Bestandsfunktion $B$.

Integralberechnungen kontrollieren

Deine Integralberechnungen kannst du mit dem folgenden Integralrechner kontrollieren.

🔑 Integralrechner zur Überprüfung

Zum Herunterladen: integralrechner.ggb