Beispiel - Zufluss-Abfluss-Systeme
Das Problem klären
Wir betrachten hier Zufluss-Abfluss-Systeme.
In diesem Kontext beschreibt der Bestand $B(x)$ die Füllmenge eines Behälters zum Zeitpunkt $x$. Die lokale Änderungsrate $B'(x)$ beschreibt die momentane Zuflussrate zum Zeitpunkt $x$ (d.h. wieviel Flüssigkeit pro Zeiteinheit zum Zeitpunkt $x$ hinzu- oder abfließt).
Eine erste Anwendung betrachten
Wir betrachten ein Zufluss-Abfluss-System, in dem die Zeit $x$ in Stunden (abgekürzt: $h$) und die Wassermenge in Kubikmeter (abgekürzt: $m^3$) angegeben wird.
Die Zuflussrate wird durch die Zuflussratenfunktion $B'(x) = x^3 - 8x^2 + 15x$ in der Einheit [m3/h] beschrieben. Das Anfangsvolumen im Behälter zum Zeitpunkt $x_0 = 0$ beträgt $B(x_0) = 10$ [m3].
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren4c.ggb
Aufgabe 1
(a) Beschreibe den Füllvorgang im Zufluss-Abfluss-System in Worten.
(b) Bestimme den Bestand $B(x_1)$ für $x_1 = 3$ (und $x_1 = 6$) mit Hilfe eines geeigneten Integrals. $B(x_1)$ beschreibt die Wassermenge im Behälter zum Zeitpunkt $x_1$.
(c) Bestimme auch Bestandsfunktion $B(x)$ durch Aufleiten der Funktion $B'(x)$. Achte darauf, dass $B(0) = 10$ gelten muss.
Eine zweite Anwendung betrachten
Wir betrachten ein Zufluss-Abfluss-System, in dem die Zeit $x$ in Stunden (abgekürzt: $h$) und die Wassermenge in Kubikmeter (abgekürzt: $m^3$) angegeben wird.
Die Zuflussrate wird durch die Zuflussratenfunktion $B'(x) = \frac{1}{4}x^4 - 8x^3 + 88x^2 - 384x + 576$ in der Einheit [m3/h] beschrieben. Das Anfangsvolumen im Behälter zum Zeitpunkt $x_0 = 4$ beträgt $B(x_0) = 0$ [m3].
Zum Herunterladen: bestandrekonstruieren5.ggb
Aufgabe 2
(a) Beschreibe den Füllvorgang im Zufluss-Abfluss-System in Worten.
(b) Bestimme den Bestand $B(x_1)$ für $x_1 = 12$ mit Hilfe eines geeigneten Integrals. $B(x_1)$ beschreibt die Wassermenge im Behälter zum Zeitpunkt $x_1$.
(c) Skizziere den Graph der Bestandsfunktion $B(x)$.
Integralberechnungen kontrollieren
Deine Integralberechnungen kannst du mit dem folgenden Integralrechner kontrollieren.
Zum Herunterladen: integralrechner.ggb
