Strukturierung - Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen
Flächeninhalt mit dem Integral berechnen
Betrachte die folgende Problemsituation:
Gegeben sind zwei Randfunktionen $f$ und $g$, die sich in den Punkten $S_1(a|...)$ und $S_2(b|...)$ schneiden. Dabei soll Graph $f$ innerhalb des Intervall $a \leq x \leq b$ oberhalb von Graph $g$ verlaufen. Beide Funktionsgraphen sollen zudem im betrachteten Intervall oberhalb der $x$-Achse verlaufen.
Gesucht ist der Flächeninhalt $A$ der Fläche zwischen Graph $f$ und Graph $g$.
Das Applet verdeutlicht diese Problemsituation.
Zum Herunterladen: flaechezwischenfundg1.ggb
Aufgabe 1
Betrachte die Funktionen $f(x) = - x^2 + 4$ und $g(x) = 2 x^2 + 1$.
(a) Zeige: Die Funktionen $f$ und $g$ schneiden sich in den Punkten $S_1(-1|...))$ und $S_2(-1|...))$.
(b) Beschreibe den gesuchten Flächeninhalt mit Hilfe von Integralen.
(c) Berechne den gesuchten Flächeninhalt.
(d) Zeige (durch eine Rechnung oder mit Hilfe von Regeln für Integrale), dass man $A$ auch so berechnen kann:
$A = \int\limits_{-1}^{1} (f(x)-g(x)) dx$
Eine veränderte Ausgangssituation betrachten
Betrachte die folgende Problemsituation:
Gegeben sind zwei Randfunktionen $f$ und $g$, die sich in den Punkten $S_1(a|...)$ und $S_2(b|...)$ schneiden. Dabei soll Graph $f$ innerhalb des Intervall $a \leq x \leq b$ oberhalb von Graph $g$ verlaufen. Die beiden Funktionsgraphen müssen jetzt nicht mehr im betrachteten Intervall oberhalb der $x$-Achse verlaufen.
Gesucht ist der Flächeninhalt $A$ der Fläche zwischen Graph $f$ und Graph $g$.
Das Applet verdeutlicht diese Problemsituation.
Zum Herunterladen: flaechezwischenfundg2.ggb
Aufgabe 2
Betrachte die Funktionen $f(x) = - x^2 + 2$ und $g(x) = 2 x^2 - 1$.
(a) Erläutere: Man kann den gesuchten Flächeninhalt $A$ bestimmen, indem man beide Funktionsgraphen um den gleichen Betrag nach oben verschiebt und dann das bereits beschriebene Verfahren benutzt.
(b) Führe die in (a) beschriebene Strategie aus.
(c) Begründe, dass man $A$ auch so berechnen kann:
$A = \int\limits_{-1}^{1} (f(x)-g(x)) dx$
Aufgabe 3
Fülle den folgenden Wissensspeicher aus.
