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Strukturierung - Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Flächeninhalt mit dem Integral berechnen

Betrachte die folgende Problemsituation:

Gegeben sind zwei Randfunktionen $f$ und $g$, die sich in den Punkten $S_1(a|...)$ und $S_2(b|...)$ schneiden. Dabei soll Graph $f$ innerhalb des Intervall $a \leq x \leq b$ oberhalb von Graph $g$ verlaufen. Beide Funktionsgraphen sollen zudem im betrachteten Intervall oberhalb der $x$-Achse verlaufen.

Gesucht ist der Flächeninhalt $A$ der Fläche zwischen Graph $f$ und Graph $g$.

Die Animation verdeutlicht diese Problemsituation.

Zum Herunterladen: flaechezwischenfundg1.ggb

Aufgabe 1

Betrachte die Funktionen $f(x) = - x^2 + 4$ und $g(x) = 2 x^2 + 1$.

(a) Zeige: Die Funktionen $f$ und $g$ schneiden sich in den Punkten $S_1(-1|...))$ und $S_2(-1|...))$.

(b) Beschreibe den gesuchten Flächeninhalt mit Hilfe von Integralen.

(c) Berechne den gesuchten Flächeninhalt.

(d) Zeige (durch eine Rechnung oder mit Hilfe von Regeln für Integrale), dass man $A$ auch so berechnen kann:

$A = \int\limits_{-1}^{1} (f(x)-g(x)) dx$

Eine veränderte Ausgangssituation betrachten

Betrachte die folgende Problemsituation:

Gegeben sind zwei Randfunktionen $f$ und $g$, die sich in den Punkten $S_1(a|...)$ und $S_2(b|...)$ schneiden. Dabei soll Graph $f$ innerhalb des Intervall $a \leq x \leq b$ oberhalb von Graph $g$ verlaufen. Die beiden Funktionsgraphen müssen jetzt nicht mehr im betrachteten Intervall oberhalb der $x$-Achse verlaufen.

Gesucht ist der Flächeninhalt $A$ der Fläche zwischen Graph $f$ und Graph $g$.

Die Animation verdeutlicht diese Problemsituation.

Zum Herunterladen: flaechezwischenfundg2.ggb

Aufgabe 2

Betrachte die Funktionen $f(x) = - x^2 + 2$ und $g(x) = 2 x^2 - 1$.

(a) Erläutere: Man kann den gesuchten Flächeninhalt $A$ bestimmen, indem man beide Funktionsgraphen um den gleichen Betrag nach oben verschiebt und dann das bereits beschriebene Verfahren benutzt.

(b) Führe die in (a) beschriebene Strategie aus.

(c) Begründe, dass man $A$ auch so berechnen kann:

$A = \int\limits_{-1}^{1} (f(x)-g(x)) dx$

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