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Strukturierung – Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Flächeninhalt mit dem Integral berechnen

Betrachte die folgende Problemsituation:

Gegeben sind zwei Randfunktionen $f$ und $g$ , die sich in den Punkten $S_{1} (a | . . .)$ und $S_{2} (b | . . .)$ schneiden. Dabei soll Graph $f$ innerhalb des Intervall $a \leq x \leq b$ oberhalb von Graph $g$ verlaufen. Beide Funktionsgraphen sollen zudem im betrachteten Intervall oberhalb der $x$ -Achse verlaufen.

Gesucht ist der Flächeninhalt $A$ der Fläche zwischen Graph $f$ und Graph $g$ .

Aufgabe 1 (Einstieg)

Skizziere die Situation in einem geeigneten Koordinantensystem.

Aufgabe 2 (Erarbeitung)

Betrachten wir nun eine konkrete Situation mit den Funktionen $f$ und $g$ und ihren Funktionsgleichungen
$f (x) = - x^{2} + 4$ ,
$g (x) = 2 x^{2} + 1$ .

Zugehöriges Applet

Zum Herunterladen: flaechezwischenfundg1.ggb

(a) Zeige: Die Funktionen $f$ und $g$ schneiden sich in den Punkten $S_{1} (- 1 | 3)$ und $S_{2} (1 | 3)$ .

(b) Beschreibe den gesuchten Flächeninhalt mit Hilfe von Integralen.

(c) Berechne den gesuchten Flächeninhalt.

(d) Zeige, dass $A$ auch folgendermaßen berechnet werden kann:

$A = \int_{- 1}^{1} (f (x) - g (x)) d x$

💡 Tipp

Du kannst das durch Rechnung oder mit Hilfe von Regeln für Integrale tun.

Eine veränderte Ausgangssituation betrachten

Betrachte die folgende Problemsituation:

Gegeben sind zwei Randfunktionen $f$ und $g$ , die sich in den Punkten $S_{1} (a | . . .)$ und $S_{2} (b | . . .)$ schneiden. Dabei soll Graph $f$ innerhalb des Intervall $a \leq x \leq b$ oberhalb von Graph $g$ verlaufen. Die beiden Funktionsgraphen müssen jetzt nicht mehr im betrachteten Intervall oberhalb der $x$ -Achse verlaufen.

Gesucht ist der Flächeninhalt $A$ der Fläche zwischen Graph $f$ und Graph $g$ .

Das Applet verdeutlicht diese Problemsituation:

Zum Herunterladen: flaechezwischenfundg2.ggb

Aufgabe 3 (Vertiefung)

Betrachte die Funktion $f$ mit $f (x) = - x^{2} + 2$ und die Funktion $g$ mit $g (x) = 2 x^{2} - 1$ .

(a) Erläutere die Richtigkeit der folgenden Aussage:
Der gesuchte Flächeninhalt $A$ lässt sich bestimmen, indem beide Funktionsgraphen um den gleichen Betrag nach oben verschoben werden und dann das bereits beschriebene Verfahren benutzt wird!

(b) Führe die in (a) beschriebene Strategie aus.

(c) Begründe, dass $A$ auch so berechnet werden kann:

$A = \int_{- 1}^{1} (f (x) - g (x)) d x$

Aufgabe 3 (Sicherung)

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