Flächenberechnungen

Den Kanalquerschnitt betrachten (Erarbeitung)

Hier noch einmal die Verdeutlichung der Problemsituation.

Zum Herunterladen: querschnittsflaechen.ggb

Aufgabe 1: Flächeninhalte als Integrale

Beschreibe die gesuchten Flächeninhalt $A_f$, $A_g$ und $A_h$ mit Hilfe von Integralen. Beachte dabei, dass Integrale als orientierte Flächeninhalte gedeutet werden können.

$A_f=\dots$

Aufgabe 2: Integrierbare Funktionen

Noch können wir diese Flächeninhalte nicht ohne Weiteres berechnen, weil wir noch keine Integrationsregeln für Funktionen mit dieser Struktur kennen.
Findest du einen Weg die Funktionen in eine bekannte Gestalt zu überführen? Erkläre und berechne.

💡 Tipp

Du musst die Funktionsgleichungen umformen.

🔑 Lösung

Forme die Funktionsgleichungen der vorgegebenen Funktionen $f(x)$, $g(x)$ und $h(x)$ so um, dass sie erkennbar ganzrationale Funktionen sind.

$f(x) = \frac{3}{8} x \cdot (x-4) = \frac{3}{8} x^2 - \frac{3}{2} x$

$g(x) = \dots$

$h(x) = \dots$

Aufgabe 3: Integralberechnung und ihre Bedeutung

(a) Berechne die gesuchten Flächeninhalte mithilfe der Integralrechnung.

(b) Kläre mit den Ergebnissen, ob der Erdaushub hier richtig modelliert ist. Begründe.

🔑 Lösung

🚀 Weiterführende Fragestellung

Wie lässt sich $h$ so abändern, dass die Problemstellung erfüllt ist?
Bestimme die passende Funktionsgleichung und begründe ihre Richtigkeit.

Tipp: Wähle z.B. den Ansatz $h(x) = a \cdot x \cdot (x+3)$ und bestimme $a$ passend.