Flächenberechnungen
Den Kanalquerschnitt betrachten (Erarbeitung)
Hier noch einmal die Verdeutlichung der Problemsituation.
Problem umgangssprachlich: Der Erdaushub des Kanals soll genauso groß sein, wie die beiden Uferhügel zusammen.
Problem mathematisch: Es soll gelten: $A_f = A_h + A_g$.
Zum Herunterladen: querschnittsflaechen.ggb
Aufgabe 1: Flächeninhalte als Integrale
Beschreibe die gesuchten Flächeninhalt $A_f$, $A_g$ und $A_h$ mit Hilfe von Integralen. Beachte dabei, dass Integrale als orientierte Flächeninhalte gedeutet werden können.
$A_f=\dots$
Aufgabe 2: Integrierbare Funktionen
Noch können wir diese Flächeninhalte nicht ohne Weiteres berechnen, weil wir noch keine Integrationsregeln für Funktionen mit dieser Struktur kennen.
Findest du einen Weg die Funktionen in eine bekannte Gestalt zu überführen? Erkläre und berechne.
💡 Tipp
Du musst die Funktionsgleichungen umformen.
🔑 Auflösung
Forme die Funktionsgleichungen der vorgegebenen Funktionen $f(x)$, $g(x)$ und $h(x)$ so um, dass sie erkennbar ganzrationale Funktionen sind.
$f(x) = \frac{3}{8} x \cdot (x-4) = \frac{3}{8} x^2 - \frac{3}{2} x$
$g(x) = \dots$
$h(x) = \dots$
Aufgabe 3: Integralberechnung und ihre Bedeutung
(a) Berechne die gesuchten Flächeninhalte mithilfe der Integralrechnung.
(b) Kläre mit den Ergebnissen, ob der Erdaushub hier richtig modelliert ist. Begründe.
🔑 Lösung
Es gilt: $A_f > A_h + A_g$. Die beiden Uferhügel sind also zu klein.
🚀 Weiterführende Fragesellung
Wie lässt sich $h$ so abändern, dass die Problemstellung erfüllt ist?
Bestimme die passende Funktionsgleichung und begründe ihre Richtigkeit.
