Flächenberechnungen
Den Kanalquerschnitt betrachten
Hier noch einmal die Verdeutlichung der Problemsituation.
Problem umgangssprachlich: Der Erdaushub des Kanals soll genauso groß sein wie die beiden Uferhügel zusammen.
Problem mathematisch: Es soll gelten: $A_f = A_h + A_g$.
Zum Herunterladen: querschnittsflaechen.ggb
Aufgabe 1
Beschreibe die gesuchten Flächeninhalt $A_f$, $A_g$ und $A_h$ mit Hilfe von Integralen. Beachte dabei, dass Integrale als orientierte Flächeninhalte gedeutet werden können.
$A_f$ = ...
Aufgabe 2
Noch kannst du diese Flächeninhalte nicht ohne Weiteres berechnen, weil wir noch keine Regeln kennen, um Funktionen, die so aufgebaut sind, zu integrieren. Findest du einen Weg?
Tipp
Du musst die Funktionsgleichungen erst umformen.
Auflösung
Forme die Funktionsgleichungen der vorgegebenen Funktionen $f(x)$, $g(x)$ und $h(x)$ so um, dass sie erkennbar ganzrationale Funktionen sind.
$f(x) = \frac{3}{8} x \cdot (x-4) = \frac{3}{8} x^2 - \frac{3}{2} x$
$g(x) = ...$
$h(x) = ...$
Aufgabe 3
Berechne die gesuchten Flächeninhalte mithilfe der Integralrechnung. Kläre mit den Ergebnissen, ob der Erdaushub hier richtig modelliert ist.
Auflösung und Zusatzfrage
Es gilt: $A_f > A_h + A_g$. Die beiden Uferhügel sind also zu klein.
Ändere die Funktion $h$ so ab, dass die Flächenbilanz zum Erdaushub stimmt.
