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Zusammenfassung – Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Das Problem

Betrachte die folgende Problemsituation:

Gegeben sind zwei Randfunktionen $f$ und $g$ , die sich in den Punkten $S_{1} (a | . . .)$ und $S_{2} (b | . . .)$ schneiden. Dabei soll der Graph von $f$ innerhalb des Intervall $a \leq x \leq b$ oberhalb vom Graph von $g$ verlaufen.

Gesucht ist der Flächeninhalt $A$ der Fläche zwischen dem Graph von $f$ und dem Graph von $g$ .

Flächenberechnung – der einfache Fall

Wir betrachten zunächst den Fall, dass die Graphen von $f$ und $g$ zwischen den beiden Schnittpunkten oberhalb der $x$ -Achse verlaufen. Das Applet zeigt eine solche Situation:

Zum Herunterladen: flaechezwischenfundg1.ggb

Der Flächeninhalt lässt sich durch Betrachtung geeigneter Flächenstücke zwischen den Funktionsgraphen und der x-Achse ermitteln.

Betrachte die beiden Funktionen $f$ und $g$ mit ihren Funktionsgleichungen $f (x) = - x^{2} + 4$ und $g (x) = 2 x^{2} + 1$ .

Die beiden Funktionen schneiden sich in den Punkten $S_{1} (- 1 | 3)$ und $S_{2} (1 | 3)$ . Der Flächeninhalt $A$ der Fläche zwischen dem Graph von $f$ und dem Graph von $g$ kann jetzt folgendermaßen berechnet werden:

$A = \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{- 1}^{1} g (x) d x = 4$

Dasselbe Ergebnis ergibt sich durch folgende Rechnung:

$A = \int_{- 1}^{1} (f (x) - g (x)) d x = 4$

Beachte, dass im Beispiel die folgende Regel für Integrale benutzt wird:

$\int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x$

Flächenberechnung – der allgemeine Fall

Wir betrachten jetzt den Fall, dass die Graphen von $f$ und $g$ zwischen den beiden Schnittpunkten eine beliebige Lage bezüglich der
$x$ -Achse haben. Das Applet zeigt eine solche Situation:

Zum Herunterladen: flaechezwischenfundg2.ggb

Der Flächeninhalt lässt sich durch eine geeignete Verschiebung der Funktionsgraphen nach oben ermitteln.

Betrachte die beiden Funktionen $f$ und $g$ mit ihren Funktionsgleichungen $f (x) = - x^{2} + 2$ und $g (x) = 2 x^{2} - 1$ .

Die beiden Funktionen schneiden sich in den Punkten $S_{1} (- 1 | 1)$ und $S_{2} (1 | 1)$ .

Wenn die Graphen von $f$ und $g$ um $2$ Einheiten (im Applet mit dem Schieberegler c) nach oben verschoben werden, ändert sich der Flächeninhalt $A$ zwischen den beiden Funktionsgraphen nicht.
Demnach lässt sich $A$ so berechnen:

$A = \int_{- 1}^{1} (f (x) + 2) d x - \int_{- 1}^{1} (g (x) + 2) d x = 4$

Dasselbe Ergebnis ergibt sich durch folgende Rechnung:

$A = \int_{- 1}^{1} (f (x) - g (x)) d x = 4$

Beachte, dass im Beispiel diese Umformung von Integralen benutzt wird:

$\int_{- 1}^{1} (f (x) + 2) d x - \int_{- 1}^{1} (g (x) + 2) d x = \int_{- 1}^{1} ((f (x) + 2) - (g (x) + 2)) d x = \int_{- 1}^{1} (f (x) - g (x)) d x$

Der folgende Satz fasst das Ergebnis zusammen:

Gegeben sind zwei Randfunktionen $f$ und $g$ , die sich in den Punkten $S_{1} (a | . . .)$ und $S_{2} (b | . . .)$ schneiden. Dabei soll Graph $f$ innerhalb des Intervalls $a \leq x \leq b$ oberhalb von Graph $g$ verlaufen. Für den Flächeninhalt $A$ der Fläche zwischen Graph $f$ und Graph $g$ gilt:

$A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$

Verallgemeinerung des Problems

Betrachte die folgende Problemsituation:

Gegeben sind zwei Randfunktionen $f$ und $g$ , die sich in mehreren Punkten schneiden.

Gesucht ist der Flächeninhalt $A$ der gesamten Fläche zwischen dem Graph von $f$ und dem Graph von $g$ .

Das folgende Applet zeigt zwei Randfunktionen, die drei Schnittpunkte haben:

Zum Herunterladen: flaechezwischenfundg3.ggb

Wir wenden die oben beschriebenen Verfahren auf diese Situation an:

Betrachte die Funktionen $f$ und $g$ mit ihren Funktionsgleichungen $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 1$ und $g (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 1$ .

Die beiden Funktionen schneiden sich in den Punkten $S_{1} (0 | . . .)$ und $S_{2} (2 | . . .)$ und $S_{3} (3.5 | . . .)$ .

Für den gesuchten Flächeninhalt $A$ gilt:

$A = \int_{0}^{2} (g (x) - f (x)) d x + \int_{2}^{3.5} (f (x) - g (x)) d x \approx 1.79$

Dasselbe Ergebnis ergibt sich durch folgende Rechnung:

$A = \int_{0}^{3.5} | f (x) - g (x) | d x = 1.79$

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