Zusammenfassung – Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen
Das Problem
Betrachte die folgende Problemsituation:
Gegeben sind zwei Randfunktionen $f$ und $g$, die sich in den Punkten $S_1(a|...)$ und $S_2(b|...)$ schneiden. Dabei soll der Graph von $f$ innerhalb des Intervall $a \leq x \leq b$ oberhalb vom Graph von $g$ verlaufen.
Gesucht ist der Flächeninhalt $A$ der Fläche zwischen dem Graph von $f$ und dem Graph von $g$.
Flächenberechnung – der einfache Fall
Wir betrachten zunächst den Fall, dass die Graphen von $f$ und $g$ zwischen den beiden Schnittpunkten oberhalb der $x$-Achse verlaufen. Das Applet zeigt eine solche Situation:
Zum Herunterladen: flaechezwischenfundg1.ggb
Der Flächeninhalt lässt sich durch Betrachtung geeigneter Flächenstücke zwischen den Funktionsgraphen und der x-Achse ermitteln.
Betrachte die beiden Funktionen $f$ und $g$ mit ihren Funktionsgleichungen $f(x) = - x^2 + 4$ und $g(x) = 2 x^2 + 1$.
Die beiden Funktionen schneiden sich in den Punkten $S_1(-1|3)$ und $S_2(1|3)$. Der Flächeninhalt $A$ der Fläche zwischen dem Graph von $f$ und dem Graph von $g$ kann jetzt folgendermaßen berechnet werden:
$A = \int\limits_{-1}^{1} f(x) dx - \int\limits_{-1}^{1} g(x) dx = 4$
Dasselbe Ergebnis ergibt sich durch folgende Rechnung:
$A = \int\limits_{-1}^{1} (f(x)-g(x)) dx = 4$
Beachte, dass im Beispiel die folgende Regel für Integrale benutzt wird:
$\int\limits_{a}^{b} (f(x)-g(x)) dx = \int\limits_{a}^{b} f(x) dx - \int\limits_{a}^{b} g(x) dx$
Flächenberechnung – der allgemeine Fall
Wir betrachten jetzt den Fall, dass die Graphen von $f$ und $g$ zwischen den beiden Schnittpunkten eine beliebige Lage bezüglich der
$x$-Achse haben.
Das Applet zeigt eine solche Situation:
Zum Herunterladen: flaechezwischenfundg2.ggb
Der Flächeninhalt lässt sich durch eine geeignete Verschiebung der Funktionsgraphen nach oben ermitteln.
Betrachte die beiden Funktionen $f$ und $g$ mit ihren Funktionsgleichungen $f(x) = - x^2 + 2$ und $g(x) = 2 x^2 - 1$.
Die beiden Funktionen schneiden sich in den Punkten $S_1(-1|1)$ und $S_2(1|1)$.
Wenn die Graphen von $f$ und $g$ um $2$ Einheiten (im Applet mit dem Schieberegler c) nach oben verschoben werden,
ändert sich der Flächeninhalt $A$ zwischen den beiden Funktionsgraphen nicht.
Demnach lässt sich $A$ so berechnen:
$A = \int\limits_{-1}^{1} (f(x) + 2) dx - \int\limits_{-1}^{1} (g(x) + 2) dx = 4$
Dasselbe Ergebnis ergibt sich durch folgende Rechnung:
$A = \int\limits_{-1}^{1} (f(x)-g(x)) dx = 4$
Beachte, dass im Beispiel diese Umformung von Integralen benutzt wird:
$\int\limits_{-1}^{1} (f(x) + 2) dx - \int\limits_{-1}^{1} (g(x) + 2) dx = \int\limits_{-1}^{1} ((f(x) + 2)-(g(x)+2)) dx = \int\limits_{-1}^{1} (f(x) - g(x)) dx $
Der folgende Satz fasst das Ergebnis zusammen:
Gegeben sind zwei Randfunktionen $f$ und $g$, die sich in den Punkten $S_1(a|...)$ und $S_2(b|...)$ schneiden. Dabei soll Graph $f$ innerhalb des Intervalls $a \leq x \leq b$ oberhalb von Graph $g$ verlaufen. Für den Flächeninhalt $A$ der Fläche zwischen Graph $f$ und Graph $g$ gilt:
$A = \int\limits_{a}^{b} (f(x)-g(x)) dx$
Verallgemeinerung des Problems
Betrachte die folgende Problemsituation:
Gegeben sind zwei Randfunktionen $f$ und $g$, die sich in mehreren Punkten schneiden.
Gesucht ist der Flächeninhalt $A$ der gesamten Fläche zwischen dem Graph von $f$ und dem Graph von $g$.
Das folgende Applet zeigt zwei Randfunktionen, die drei Schnittpunkte haben:
Zum Herunterladen: flaechezwischenfundg3.ggb
Wir wenden die oben beschriebenen Verfahren auf diese Situation an:
Betrachte die Funktionen $f$ und $g$ mit ihren Funktionsgleichungen $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 - 2x-1$ und $g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$.
Die beiden Funktionen schneiden sich in den Punkten $S_1(0|...)$ und $S_2(2|...)$ und $S_3(3.5|...)$.
Für den gesuchten Flächeninhalt $A$ gilt:
$A = \int\limits_{0}^{2} (g(x) - f(x)) dx + \int\limits_{2}^{3.5} (f(x) - g(x)) dx \approx 1.79$
Dasselbe Ergebnis ergibt sich durch folgende Rechnung:
$A = \int\limits_{0}^{3.5} |f(x)-g(x)| dx = 1.79$
