Erarbeitung
Zur Orientierung
In diesem Abschnitt nutzen wir die Eigenvektoren für Vorhersagen zur Prozessentwicklung.
Eigenvektoren der Prozessmatrix bestimmen
Die Eigenwerte und Eigenvektoren der Prozessmatrix bestimmen wir mit dem Computeralgebrasystem von GeoGebra.
Hier die mit GeoGebra erzielten Ergebnisse:
| Prozessmatrix | Eigenwerte | Eigenvektoren |
|---|---|---|
| $P = \begin{pmatrix} 0.9497 & 0.0129 & 0 \\ 0.05 & 0.9748 & 0 \\ 0 & 0.0212 & 0.9529 \end{pmatrix}$ | $\lambda_1 = 0.9529$ | $\vec{w}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ |
| $\lambda_2 \approx 0.99058$ | $\vec{w}_2 \approx \begin{pmatrix} 0.56086 \\ 1.77729 \\ 1 \end{pmatrix}$ | |
| $\lambda_3 \approx 0.93392$ | $\vec{w}_3 \approx \begin{pmatrix} 0.7319 \\ -0.89521 \\ 1 \end{pmatrix}$ |
Aufgabe 1
Kontrolliere (im GeoGebra-Dialog), ob die von GeoGebra gelieferten Eigenvektoren die Eigenwertbedingung erfüllen.
Die Ausgangsverteilung mit Eigenvektoren darstellen
Kann man die Ausgangsverteilung als Linearkombination mit den Eigenvektoren der Prozessmatrx darstellen? Im nächsten GeoGebra-Dialog findest du eine Antwort. Scrolle hierzu ans Ende des Dialogs.
Man erhält somit folgende Darstellung der Ausgangsverteilung mit den Eigenvektoren der Prozessmatrix:
$\underbrace{\begin{pmatrix} 15.5 \\ 50.9 \\ 17.0 \end{pmatrix}}_{\vec{v}_0} \approx \underbrace{(-10.80536)}_{r_1} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_1} + \underbrace{28.35986}_{r_2} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 0.56086 \\ 1.77729 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_2} + \underbrace{(-0.5545)}_{r_3} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 0.7319 \\ -0.89521 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\vec{w}_3} $
Aufgabe 2
Kontrolliere diese Vektorgleichung für zumindest eine Koordinate.
Die Darstellung mit Eigenvektoren für zur Bestimmung von Altersverteilungen verwenden
Mit der Darstellung der Ausgangsverteilung mit Hilfe von Eigenvektoren der Prozessmatrix lassen sich jetzt direkt Aussagen über die Entwicklung der Alterverteilungen treffen.
Aufgabe 3
Begründe die folgenden Zusammenhänge.
(a)
$\vec{v}_i = P^{i} \cdot \vec{v}_i \approx r_1 \cdot \lambda_1^{i}\cdot \vec{w}_1 + r_2 \cdot \lambda_2^{i} \cdot \vec{w}_2 + r_3 \cdot \lambda_3^{i} \cdot \vec{w}_3$
(b)
$\frac{1}{\lambda_2^{i}} \cdot \vec{v}_i \approx r_1 \cdot \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^{i} \cdot \vec{w}_1 + r_2 \cdot \vec{w}_2 + r_3 \left(\frac{\lambda_3}{\lambda_2}\right)^{i} \cdot \vec{w}_3$
(c)
Für $i \rightarrow \infty$ gilt: $\frac{1}{\lambda_2^{i}} \cdot \vec{v}_i \rightarrow r_2 \cdot \vec{w}_2$ bzw. $\vec{v}_i \rightarrow r_2 \cdot \lambda_2^{i} \cdot \vec{w}_2$
(d) Ziehe Schlüsse aus den in Teilaufgabe (c) gemachten Aussagen über die Lengzeitentwicklung der Altersverteilungen.
