Vertiefung
Zur Orientierung
In diesem Abschnitt nutzen wir die Eigenvektoren für Vorhersagen zur Prozessentwicklung.
Langzeitprognosen erstellen
Die Übersicht zeigt noch einmal die Eigenwerte und Eigenvektoren der Prozessmatrix zur Entwicklung der Altersklassen in Deutschland.
| Prozessmatrix | Eigenwerte | Eigenvektoren |
|---|---|---|
| $P = \begin{pmatrix} 0.9497 & 0.0129 & 0 \\ 0.05 & 0.9748 & 0 \\ 0 & 0.0212 & 0.9529 \end{pmatrix}$ | $\lambda_1 = 0.9529$ | $\vec{w}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ |
| $\lambda_2 \approx 0.99058$ | $\vec{w}_2 \approx \begin{pmatrix} 0.56086 \\ 1.77729 \\ 1 \end{pmatrix}$ | |
| $\lambda_3 \approx 0.93392$ | $\vec{w}_3 \approx \begin{pmatrix} 0.7319 \\ -0.89521 \\ 1 \end{pmatrix}$ |
Der dominate Eigenvektor mit dem betragsmäßig größten Eigenwert ist der Eigenvektor $\vec{w}_2$. Im letzten Abschnitt wurde gezeigt, dass man mit dem dominanten Eigenvektor das Langzeitverhalten der Altersverteilungen abschätzen kann.
Für $i \rightarrow \infty$ gilt: $\frac{1}{\lambda_2^{i}} \cdot \vec{v}_i \rightarrow r_2 \cdot \vec{w}_2$ bzw. $\vec{v}_i \rightarrow r_2 \cdot \lambda_2^{i} \cdot \vec{w}_2$
Aufgabe 1
(a) Begründe mit $\vec{v}_i \rightarrow r_2 \cdot \lambda_2^{i} \cdot \vec{w}_2$, dass die Gesamtbevölkerung im betrachteten Modell immer weiter schrumpft.
(b) Begründe mit $\frac{1}{\lambda_2^{i}} \cdot \vec{v}_i \rightarrow r_2 \cdot \vec{w}_2$, dass sich die prozentuale Aufteilung der Altersklassen langfristig so verhält wie die prozentuale Aufteilung der Elemente des Eigenvektors $\vec{w}_2$. Bestimme diese langfristig stabile prozentuale Aufteilung der Altersklassen mit Hilfe des Eigenvektors $\vec{w}_2$.
- J: ...%
- E: ...%
- A: ...%
Aufgabe 2
Kontrolliere mit ProSiTo die langfristig stabile prozentuale Aufteilung der Altersklassen
