Simulation

Mit Übergangsraten rechnen

Das Berechnungsmodell haben wir mit einem Übergangsgraphen beschrieben. Die Zahlen an den Übergangspfeilen geben Übergangsraten an.

Mit diesen Übergangsraten kann man jetzt Schritt für Schritt neue Werte für den Altersaufbau berechnen. Die Tabelle zeigt die Berechnungen für den ersten Schritt ausgehend vom Jahr 2025. Ein Schritt entspricht dabei einem Jahr.

Schritt	J [in Mill.]	E [in Mill.]	A [in Mill.]
$0$	$15,5$	$50,9$	$17,0$
$1$	$\phantom{\begin{array}{ll} 0.9497 \cdot 15.5 & + \\ 0.0128 \cdot 50.9 & \approx \\ 15.37 \end{array}}$	$\begin{array}{ll} 0,05 \cdot 15,5 & + \\ \dots \qquad \qquad \qquad & \approx \\ 50,39 \end{array}$	$\phantom{\begin{array}{ll} 0.0212 \cdot 50.9 & + \\ 0.9529 \cdot 17.0 & \approx \\ 17.28 \end{array}}$

Aufgabe 4

(a) Der Wert für die Anzahl der erwachsenen Menschen nach einem Simulationsschritt ist bereits vorgegeben. Ergänze die Rechnung, mit der man den Wert erhält.

(b) Berechne auch die Werte für die Anzahl der jungen und alten Menschen nach einem Simulationsschritt. Gib jeweils auch die Rechenausdrücke an.

(c) Kontrolliere deine Ergebnisse.

Kontrolle

Schritt	J [in Mill.]	E [in Mill.]	A [in Mill.]
$0$	$15,5$	$50,9$	$17,0$
$1$	$\begin{array}{ll} 0,9497 \cdot 15,5 & + \\ 0,0128 \cdot 50,9 & \approx \\ 15,37 \end{array}$	$\begin{array}{ll} 0,05 \cdot 15,5 & + \\ 0,9748 \cdot 50,9 & \approx \\ 50,39 \end{array}$	$\begin{array}{ll} 0,0212 \cdot 50,9 & + \\ 0,9529 \cdot 17,0 & \approx \\ 17,28 \end{array}$

(d) Warum wäre es günstig, wenn man die weiteren Berechnungen mit einem Werkzeug durchgeführen könnte?

Berechnungen mit einem Simulationstool durchführen

Zur Automatisierung der Berechnungen verwenden wir das Prozess-Simulations-Tool ProSiTo. In diesem Tool kannst du den Übergangsgraph eingeben und dann direkt Schritt für Schritt die Altersstruktur berechnen lassen. Bearbeite die Aufgaben unter dem Tool.

Aufgabe 2

Gib in ProSiTo den Übergangsgraph ein. Benutze hierzu die folgende Anleitung.

Anleitung

• Erzeuge die Knoten mit dem Button . Die Knoten werden zunächst mit $1$, $2$ usw. bezeichnet.
• Um die Bezeichnung der Knoten zu ändern, wähle mit dem Button jeweils einen Knoten aus. Es öffnet sich ein Eingabefeld. Gib hier den gewünschten Bezeichner ein. Mit den [$-$][$+$]-Tasten kannst du bei Bedarf die Breite der Knotenkästchen verändern.
• Die Kanten kannst du mit dem Button hinzufügen. Klicke hierzu zunächst den ausgehenden Knoten und anschließend den hinführenden Knoten an. Wenn eine Kante wieder zum ausgehenden Knoten zurückführen soll, dann klicke den betreffenden Knoten zweimal an. Die Form einer Kante kannst du direkt durch ein Ziehen am Pfeil verändern.
• Standardmäßig wird die Übergangsrate $1$ an eine neu erstellte Kante geschrieben. Um diesen Wert abzuändern musst du mit dem Button die Kante zunächst auswählen. Es öffnet sich ein Editierfenster, in dem du den gewünschten Wert eingeben kannst. Die Eingabe kann als Dezimalzahl (wie $0,1$ bzw. $0.1$) oder als Bruchzahl (wie $10/100$) erfolgen.
• Mit dem Button kannst du eine Kante (und auch einen Knoten) wieder löschen.
• Um die Werte der Ausgangspopulation einzugeben, wähle mit dem Button jeweils einen Knoten aus. Es öffnet sich ein Eingabefeld. Gib hier den gewünschten Startwert ein.
• Mit dem Button kannst du das erstellte Modell abspeichern, mit dem Button dann später auch wieder laden.

Aufgabe 3

(a) Für die automatisierten Berechnungen muss der Übergangsgraph vorliegen. Zusätzlich muss die Ausgangsverteilung eingegeben sein. Starte die Simulation und führe sie mehrere Schritte durch. Benutze bei Bedarf die folgende Anleitung.

Anleitung

• Wenn der Übergangsgraph und alle Startwerte eingegeben sind, dann benutze das Startsymbol , um in den Simulationsmodus zu wechseln.
• Wenn die Eingabe des Übergangsgraphen nicht geklappt hat, dann kannst du das Modell graph-d1.json mit dem -Button auch direkt laden.
• Mit [Schritt ausführen] kannst du jeweils einen Berechnungsschritt (für ein Jahr) ausführen.
• Mit dem den Button , kannst du die Ausgangsverteilung wieder herstellen.
• Wenn du den Übergangsgraph abändern möchte, dann benutze den Button , um in den Entwurfsmodus zu wechseln.

(b) Kontrolliere, ob du nach einem Simulationsschritt die selbst berechnete Altersverteilung erhältst.

Aufgabe 4

Interessant ist auch der Blick in die ferne Zukunft. Simuliere die Entwicklung der Altersverteilung über viele Jahre. Beschreibe, was dir auffällt.