Erarbeitung

Mehrstufige Populationsentwicklungsprozesse untersuchen

Betrachte einen $3$-stufigen Entwicklungsprozess einer Population mit den Entwicklungstadien A, B und C.

Übergangsgraph	Übergangstabelle
	von A von B von C zu A $0$ $0$ $c$ zu B $a$ $0$ $0$ zu C $0$ $b$ $0$

In jedem Schritt entstehen aus Individuen eines Stadiums neue Individuen des Folgestadiums. Kein Individuum verbleibt dabei im aktuellen Stadium. Es handelt sich also um einen zyklischen Entwicklungsprozess, der mit einem zyklischen Modell beschrieben wird.

Von C nach A soll eine Vermehrung der Population stattfinden. Wir bezeichnen die Vermehrungsrate von C nach A mit $c$. In den Übergängen von A nach B und von B nach C reduziert sich die Population. Die Überlebensraten werden mit $a$ und $b$ bezeichnet.

Die Prozessmatrix eines solchen zyklischen Populationsentwicklungsprozesses hat die Gestalt:

$P=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& c\\ a& 0& 0\\ 0& b& 0\end{array}\right)$

Aufgabe 1

Zur Vorhersage der Populationsentwicklung ist es günstig, wenn man die Potenzen der Prozessmatrix $P$ kennt.

(a) Bestimme $P^2$. Ergänze hierzu in der folgenden Rechnung die fehlenden Werte.

$P^2=P\cdot P=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& c\\ a& 0& 0\\ 0& b& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}0& 0& c\\ a& 0& 0\\ 0& b& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& c\cdot b& 0\\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{array}\right)$

(b) Benutze das Ergebnis aus (a), um $P^3$ zu bestimmen. Ergänze hierzu die folgende Rechnung.

$P^3=P^2\cdot P=\left(\begin{array}{ccc}0& c\cdot b& 0\\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}0& 0& c\\ a& 0& 0\\ 0& b& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}c\cdot b\cdot a& 0& 0\\ \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots \end{array}\right)$

(c) Begründe: Es gilt $P^3=q\cdot E$ mit $q=a\cdot b\cdot c$ und der dreidimensionalen Einheitsmatrix $E$.

(d) Begründe: Aus (c) folgt, dass $P^6=q^2\cdot E$, $P^9=q^3\cdot E$ usw..

(e) Welche Besonderheit entsteht, wenn $a\cdot b\cdot c=1$ gilt? Ergänze den Satz:

Wenn $a\cdot b\cdot c=1$, dann gilt $P^6=\dots$, $P^6=\dots$, $P^9=\dots$ usw..

Aufgabe 2

Verteilungsvektoren kann man mit den Potenzen der Prozessmatrix $P$ bestimmen. Für den Verteilungsvektor ${\overrightarrow{v}}_n$ gilt:

${\overrightarrow{v}}_n=P^n\cdot {\overrightarrow{v}}_0$

(a) Begründe mit dem Ergebnis aus Aufgabe 1 (e):

Wenn $a\cdot b\cdot c=1$, dann gilt ${\overrightarrow{v}}_3={\overrightarrow{v}}_0$, ${\overrightarrow{v}}_6={\overrightarrow{v}}_0$, ${\overrightarrow{v}}_9={\overrightarrow{v}}_0$ usw..

(b) Deute das Ergebnis aus (a).

Aufgabe 3

Untersuche analog einen $4$-stufigen Entwicklungsprozess einer Population mit den Entwicklungstadien A, B, C und D. Der Entwicklungsprozess soll wie im Übergangsgraphen dargestellt erfolgen.

Zur Kontrolle

$P^4=P^3\cdot P=\left(\begin{array}{cccc}0& b\cdot c\cdot d& 0& 0\\ 0& 0& a\cdot c\cdot d& 0\\ 0& 0& 0& a\cdot b\cdot d\\ a\cdot b\cdot c& 0& 0& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& d\\ a& 0& 0& 0\\ 0& b& 0& 0\\ 0& 0& c& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}a\cdot b\cdot c\cdot d& 0& 0& 0\\ 0& a\cdot b\cdot c\cdot d& 0& 0\\ 0& 0& a\cdot b\cdot c\cdot d& 0\\ 0& 0& 0& a\cdot b\cdot c\cdot d\end{array}\right)$

Ergebnisse zusammenfassen

Aufgabe 4

Ergänze im Folgenden die fehlenden Teile.

Populationsmodell	Prozessmatrix	Potenzen der Prozessmatrix	zyklisch stabile Verteilungsvektoren
	$P=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& c\\ a& 0& 0\\ 0& b& 0\end{array}\right)$	$P^3=\underset{q}{\underbrace{a\cdot b\cdot c}}\cdot E$	Wenn $a\cdot b\cdot c=1$, dann gilt: ${\overrightarrow{v}}_3={\overrightarrow{v}}_0$ ${\overrightarrow{v}}_6={\overrightarrow{v}}_0$ ${\overrightarrow{v}}_9={\overrightarrow{v}}_0$ $\dots$
	$P=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& d\\ a& 0& 0& 0\\ 0& b& 0& 0\\ 0& 0& c& 0\end{array}\right)$	$P^4=\underset{q}{\underbrace{a\cdot b\cdot c\cdot d}}\cdot E$	Wenn $a\cdot b\cdot c\cdot d=1$, dann gilt: ${\overrightarrow{v}}_4={\overrightarrow{v}}_0$ ${\overrightarrow{v}}_8={\overrightarrow{v}}_0$ ${\overrightarrow{v}}_{12}={\overrightarrow{v}}_0$ $\dots$
	$P=\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& \cdots & 0& f\\ a_1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& a_2& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 0& \cdots & a_{n-1}& 0\end{array}\right)$	$P^n=\dots$	Wenn $f\cdot a_1\cdot \cdots \cdot a_{n-1}=1$, dann gilt: $\dots$

Zur Beschreibung solch zyklischer Prozesse führen wir einen neuen Begriff ein.

Zyklische Prozesse erhält man bei mehrstufigen Populationsentwicklungsprozessen.