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Zusammenfassung - Zyklische Modelle

Beispiel - Entwicklung einer Maikäferpopulation

Im Simulationstool ProSiTo ist das Populationsentwicklungsmodell für eine Maikäferpopulation dargestellt.

Übergangstabelle

	von Ei	von La	von Pu	von Kä
zu Ei	0	0	0	50
zu La	0.4	0	0	0
zu Pu	0	0.2	0	0
zu Kä	0	0	0.25	0

Prozessmatrix

\begin{pmatrix}{0} & {0} & {0} & {50}\\{0{.}4} & {0} & {0} & {0}\\{0} & {0{.}2} & {0} & {0}\\{0} & {0} & {0{.}25} & {0}\\\end{pmatrix}

Verteilungsvektor

\begin{matrix}\text{Ei} \\ \text{La} \\ \text{Pu} \\ \text{Kä} \\ \end{matrix}\begin{pmatrix}1000 \\ 400 \\ 80 \\ 100 \\ \end{pmatrix}

Mit dem Simulationstool kann man experimentell herausfinden, dass sich Verteilungen beim vorliegenden Populationsmodell nach vier Schritten zyklisch wiederholen. Warum das so ist, wird im Folgenden – etwas verallgemeinert – nachgewiesen.

Verallgemeinerung - mehrstufige Populationsentwicklungsprozesse

Wir betrachten exemplarisch einen $4$ -stufigen zyklischen Entwicklungsprozess einer Population mit den Entwicklungstadien A, B, C und D. Wir bezeichnen die Vermehrungsrate von D nach A mit $d$ und die Überlebensraten von A über B und C wieder hin zu D mit $a$ , $b$ und $c$ .

Übergangsgraph zur Populationsentwicklung

Der Übergangsgraph liefert ein zyklisches Modell für den betrachteten zyklischen Entwicklungsprozess.

Die Prozessmatrix zum zyklischen Modell hat dann die Gestalt:

$P = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & d \\ a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \end{matrix})$

Für eine solche Prozessmatrix gilt:

$P^{2} = P \cdot P = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & d \\ a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & d \\ a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 & c d & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a d \\ a b & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b c & 0 & 0 \end{matrix})$

$P^{3} = P^{2} \cdot P = (\begin{matrix} 0 & 0 & c d & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a d \\ a b & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b c & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & d \\ a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & b c d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a c d & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a b d \\ a b c & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

$P^{4} = P^{3} \cdot P = (\begin{matrix} 0 & b c d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a c d & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a b d \\ a b c & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & d \\ a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a b c d & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a b c d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a b c d & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a b c d \end{matrix})$

Es gilt demnach $P^{4} = \underset{q}{\underset{⏟}{a \cdot b \cdot c \cdot d}} \cdot E$ mit der $4$ -dimensionalen Einheitsmatrix $E$ .

Für jede Ausgangspopulation ${\vec{v}}_{0}$ gilt dann:

${\vec{v}}_{4} = P^{4} \cdot {\vec{v}}_{0} = (q \cdot E) \cdot {\vec{v}}_{0} = q \cdot (E \cdot {\vec{v}}_{0}) = q \cdot {\vec{v}}_{0}$

${\vec{v}}_{8} = P^{8} \cdot {\vec{v}}_{0} = P^{4} \cdot P^{4} \cdot {\vec{v}}_{0} = (q \cdot E) \cdot (q \cdot E) \cdot {\vec{v}}_{0} = q^{2} \cdot {\vec{v}}_{0}$

${\vec{v}}_{12} = P^{12} \cdot {\vec{v}}_{0} = \dots = q^{3} \cdot {\vec{v}}_{0}$

Also:

${\vec{v}}_{4 i} = P^{4 i} \cdot {\vec{v}}_{0} = \dots = q^{i} \cdot {\vec{v}}_{0}$ für alle natürlichen Zahlen $i$ .

Für $\underset{q}{\underset{⏟}{a \cdot b \cdot c \cdot d}} = 1$ gilt ${\vec{v}}_{0} = {\vec{v}}_{4} = {\vec{v}}_{8} = {\vec{v}}_{12} = \dots$ . Man erhält eine zyklisch stabile Population.

Für $\underset{q}{\underset{⏟}{a \cdot b \cdot c \cdot d}} < 1$ ergibt sich eine zyklisch abnehmende Population, für $\underset{q}{\underset{⏟}{a \cdot b \cdot c \cdot d}} > 1$ eine zyklisch wachsende Population.

Entsprechende Ergebnisse erhält man für beliebige $n$ -stufige Populationsentwicklungsprozesse (wobei $n$ eine natürliche Zahl ist).

Zusammenfassung

Zur Beschreibung zyklischer Prozesse führen wir zunächst einen neuen Begriff ein.

Zyklische Prozessmatrix

Eine $n$ -dimensionale Prozessmatrix $P$ ist zyklisch genau dann, wenn es eine reelle Zahl $q$ gibt, so dass $P^{n} = q \cdot E$ (mit der $n$ -dimensionalen Einheitsmatrix $E$ ) gilt.

Zyklische Prozesse führen zu einem zyklischen Verhalten von Verteilungsvektoren.

Satz über zyklische Prozesse

Ist $P$ eine zyklische Prozessmatrix mit $P^{n} = q \cdot E$ (mit einer natürlichen Zahl $n$ und einer positiven reellen Zahl $r$ ), dann gilt für die Verteilungsvektoren:

${\vec{v}}_{n} = q \cdot {\vec{v}}_{0}$ , ${\vec{v}}_{2 n} = q^{2} \cdot {\vec{v}}_{0}$ , ${\vec{v}}_{3 n} = q^{3} \cdot {\vec{v}}_{0}$ usw..

Für $q = 1$ erhält man zyklisch stabile Verteilungsvektoren mit ${\vec{v}}_{0} = {\vec{v}}_{n} = {\vec{v}}_{2 n} = {\vec{v}}_{3 n} = \dots$ .

Für $q < 1$ erhält man zyklisch abnehmende Verteilungsvektoren mit ${\vec{v}}_{i \cdot n} = q^{i} \cdot {\vec{v}}_{0}$ .

Für $q > 1$ ergeben sich zyklisch wachsende Verteilungsvektoren mit ${\vec{v}}_{i \cdot n} = q^{i} \cdot {\vec{v}}_{0}$ .

Zyklische Prozesse erhält man bei einfachen mehrstufigen Populationsentwicklungsprozessen.

Satz über mehrstufige Populationsentwicklungsprozesse

Gegeben ist ein zyklischer $n$ -stufiger Populationsentwicklungsprozess mit der Vermehrungsrate $f$ und den Überlebensraten $a_{1}, a_{2}, \dots a_{n - 1}$ .

Für die zugehörige Prozessmatrix $P$ gilt dann $P^{n} = \underset{q}{\underset{⏟}{f \cdot a_{1} \cdot \dots \cdot a_{n - 1}}} \cdot E$ . $P$ ist also eine zyklische Prozessmatrix.