Vertiefung
Zur Orientierung
Wir betrachten weiterhin Populationsentwicklungsprozesse, bei denen die Population in Altersklassen aufgeteilt ist. Ziel ist es, solche Prozesse mit Matrizenrechnung zu modellieren.
Beispiel 1
Die Simulation einer Populationsentwicklung erfolgt schrittweise in fest vorgegebenen Zeiteinheiten (z.B. in Jahren). Wir betrachten hier Populationsentwicklungsmodelle, bei denen die Zustände ein erreichtes Alter (z.B. $3$ für $3$ Zeiteinheiten) beschreiben. Der folgende Graph zeigt ein Beispiel mit $4$ solchen Altersklassen.
Die Angaben an den horizontalen geradlinigen Übergängen geben Überlebensraten an, die Angaben an den gebogenen Übergängen Vermehrungsraten.
Aufgabe 1
(a) Ergänze folgende Sätze:
Der Übergang $0 \stackrel{0.2}{\longrightarrow} 1$ beschreibt, dass ....
Der Übergang $0 \stackrel{0.4}{\longrightarrow} 0$ beschreibt, dass ....
(b) Betrachte eine Situation, in der sich jeweils $100$ Individuen in den $4$ Altersgruppen befinden. Bestimme die Anzahl der Individuen in den Altergruppen nach $1$ Simulationsschritt.
| Schritte | Verteilungsvektor |
|---|---|
| $0$ | $\vec{v}_{0} = \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 100 \\ 100 \end{pmatrix}$ |
| $1$ | $\vec{v}_{1} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ |
(c) Beschreibe das Populationsentwicklungsmodell mit einer Prozessmatrix, so dass $\vec{v}_{1} = P \cdot \vec{v}_{0}$ gilt.
| Übergangsgraph | Prozessmatrix |
|---|---|
|
|
$P = \begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}$ |
Beispiel 2
Das Populationsentwicklung wir jetzt wie folgt abgeändert.
Der Zustand $3+$ beschreibt die Klasse der Individuen, die mindesten $3$ Zeiteinheiten alt ist.
Aufgabe 2
(a) Deute den Übergang $3+ \stackrel{0.05}{\longrightarrow} 3+$.
(b) Betrachte erneut eine Situation, in der sich jeweils $100$ Individuen in den $4$ Altersgruppen befinden. Bestimme für das veränderte Modell die Anzahl der Individuen in den Altergruppen nach $1$ Simulationsschritt.
| Schritte | Verteilungsvektor |
|---|---|
| $0$ | $\vec{v}_{0} = \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 100 \\ 100 \end{pmatrix}$ |
| $1$ | $\vec{v}_{1} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ |
(c) Beschreibe das abgeänderte Populationsentwicklungsmodell mit einer Prozessmatrix, so dass $\vec{v}_{1} = P \cdot \vec{v}_{0}$ gilt.
| Übergangsgraph | Prozessmatrix |
|---|---|
|
|
$P = \begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}$ |
Beispiel 3
Die Simulation einer Populationsentwicklung erfolgt schrittweise in fest vorgegebenen Zeiteinheiten (z.B. in Jahren).
Wir betrachten hier Populationsentwicklungsmodelle, bei denen die Zustände ein Intervall erreichter Alter beschreiben.
So beschreibt ein Zustand 2-4
die Gesamtheit aller Individuen, die $2$, $3$ oder $4$ Zeiteinheiten alt sind.
Der folgende Graph zeigt ein Beispiel mit solchen Altersklassen.
Die Angaben an den horizontalen geradlinigen Übergängen und den gebogenen Übergüngen unterhalb der Zustände geben Überlebensraten an, die Angaben an den gebogenen Übergängen oberhalb der Zustände Vermehrungsraten.
Aufgabe 3
(a) Betrachte eine Situation, in der sich jeweils $100$ Individuen in den $4$ Altersgruppen befinden. Bestimme die Anzahl der Individuen in den Altergruppen nach $1$ Simulationsschritt.
| Schritte | Verteilungsvektor |
|---|---|
| $0$ | $\vec{v}_{0} = \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 100 \\ 100 \end{pmatrix}$ |
| $1$ | $\vec{v}_{1} = \begin{pmatrix} \dots \\ \dots \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix}$ |
(b) Beschreibe das Populationsentwicklungsmodell mit einer Prozessmatrix, so dass $\vec{v}_{1} = P \cdot \vec{v}_{0}$ gilt.
| Übergangsgraph | Prozessmatrix |
|---|---|
|
$P = \begin{pmatrix} \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{pmatrix}$ |
