Vertiefung

Eine Population mit erweiterten Alterklassen modellieren

Die Simulation einer Populationsentwicklung erfolgt schrittweise in fest vorgegebenen Zeiteinheiten (z.B. in Jahren). Wir betrachten hier Populationsentwicklungsmodelle, bei denen die Zustände ein Intervall erreichter Alter beschreiben. So beschreibt ein Zustand 2-4 die Gesamtheit aller Individuen, die $2$, $3$ oder $4$ Zeiteinheiten alt sind. Der folgende Graph zeigt ein Beispiel mit solchen Altersklassen.

Die Angaben an den horizontalen geradlinigen Übergängen und den gebogenen Übergüngen unterhalb der Zustände geben Überlebensraten an, die Angaben an den gebogenen Übergängen oberhalb der Zustände Vermehrungsraten.

Aufgabe 1

(a) Betrachte eine Situation, in der sich jeweils $100$ Individuen in den $4$ Altersgruppen befinden. Bestimme die Anzahl der Individuen in den Altergruppen nach $1$ Simulationsschritt.

Schritte	Verteilungsvektor
$0$	${\overrightarrow{v}}_0=\left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 100\\ 100\end{array}\right)$
$1$	${\overrightarrow{v}}_1=\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \\ \dots \\ \dots \end{array}\right)$

Zur Kontrolle

${\overrightarrow{v}}_1=\left(\begin{array}{c}478\\ 77\\ 52\\ 8\end{array}\right)$

(b) Beschreibe das Populationsentwicklungsmodell mit einer Prozessmatrix, so dass ${\overrightarrow{v}}_1=P\cdot {\overrightarrow{v}}_0$ gilt.

Übergangsgraph	Prozessmatrix
	$P=\left(\begin{array}{cccc}\dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}\right)$