Vertiefung

Mehrstufige Populationsentwicklungsprozesse untersuchen

Im letzten Absatz hast du einen $3$-stufigen Entwicklungsprozess einer Population mit den Entwicklungstadien A, B und C untersucht.

Übergangsgraph	Übergangstabelle
	von A von B von C zu A $0$ $0$ $c$ zu B $a$ $0$ $0$ zu C $0$ $b$ $0$

Die Prozessmatrix eines solchen Populationsentwicklungsprozesses hat die Gestalt:

$P=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& c\\ a& 0& 0\\ 0& b& 0\end{array}\right)$

Für diese Prozessmatrix gilt:

$P^3=\underset{q}{\underbrace{a\cdot b\cdot c}}\cdot E$.

Aufgabe 1

Untersuche den Fall, dass $a=0.1$, $b=0.25$ und $c=20$.

(a) Berechne die jeweiligen Verteilungsvektoren.

Schritte	Berechnung	Verteilungsvektor
$0$	${\overrightarrow{v}}_0$ =	$\left(\begin{array}{c}100\\ 50\\ 500\end{array}\right)$
$3$	${\overrightarrow{v}}_3=P^3\cdot {\overrightarrow{v}}_0=\underset{q}{\underbrace{a\cdot b\cdot c}}\cdot E=$	$\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \\ \dots \end{array}\right)$
$6$	${\overrightarrow{v}}_6=P^6\cdot {\overrightarrow{v}}_0=q^2\cdot E=$	$\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \\ \dots \end{array}\right)$
$9$	${\overrightarrow{v}}_9=P^6\cdot {\overrightarrow{v}}_0=q^3\cdot E=$	$\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \\ \dots \end{array}\right)$

(b) Begründe: Es handelt sich um eine zyklisch-abnehmende Population, bei der die Populationswerte in $3$er-Schritten exponentiell abnehmen.

(c) Begründe: Die Population stirbt im Laufe der Zeit aus.

Aufgabe 2

Untersuche den Fall, dass $a=0.5$, $b=0.2$ und $c=20$.

(a) Berechne die jeweiligen Verteilungsvektoren.

Schritte	Berechnung	Verteilungsvektor
$0$	${\overrightarrow{v}}_0$ =	$\left(\begin{array}{c}50\\ 5\\ 10\end{array}\right)$
$3$	${\overrightarrow{v}}_3=P^3\cdot {\overrightarrow{v}}_0=\underset{q}{\underbrace{a\cdot b\cdot c}}\cdot E=$	$\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \\ \dots \end{array}\right)$
$6$	${\overrightarrow{v}}_6=P^6\cdot {\overrightarrow{v}}_0=q^2\cdot E=$	$\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \\ \dots \end{array}\right)$
$9$	${\overrightarrow{v}}_9=P^6\cdot {\overrightarrow{v}}_0=q^3\cdot E=$	$\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \\ \dots \end{array}\right)$

(b) Begründe: Es handelt sich um eine zyklisch-wachsende Population, bei der die Populationswerte in $3$er-Schritten exponentiell zunehmen.