Aufgabe 1

Betrachte die Entwicklung der Population in Deutschland, die mit dem folgenden Übergangsgraph beschrieben wird.

Die Population der in Deutschland lebenden Menschen ist in drei Alterklassen eingeteilt:

• J: junge Menschen im Alter von $0$ bis einschließlich $19$ Jahren
• E: erwachsene Menschen im Alter von mindestens $20$ bis einschließlich $66$ Jahren
• A: alte Menschen im Alter von mindestens $67$ Jahren

Gehe von folgender Ausgangsverteilung zum Jahr 2025 aus.

• J: $15,5$ Mill.
• E: $50,9$ Mill.
• A: $17,0$ Mill.

(a) Beschreibe den Übergangsgraph mit einer Prozessmatrix.

(b) Berechne $\vec{v}_{1}$ mit dem Matrix-Vektor-Produkt. Kontrolliere dein Ergebnis mit ProSiTo.

Aufgabe 2

Gegeben ist die Prozessmatrix zu einer Populationsentwicklung mit den $4$ Altersklassen A0, A1, A2 und A3.

$P = \begin{pmatrix} 0 & 1.5 & 2.5 & 0 \\ 0.6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.2 & 0 \end{pmatrix}$

(a) Entwickle einen Übergangsgraph, der zu dieser Prozessmatrix führt.

(b) Die Prozessmatrix $P'$ unterscheidet sich geringfügig von der Prozessmatrix $P$. Erläutere den Unterschied.

$P' = \begin{pmatrix} 0 & 1.5 & 2.5 & 0 \\ 0.6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.2 & 0.1 \end{pmatrix}$

Aufgabe 3

Betrachte die Entwicklung einer Mäusepopulation, die in die drei Altersklassen J(ung), E(erwachsen) und A(lt) aufgeteilt ist.

(a) Die Entwicklung wird mit folgendem Modell beschrieben:

Modell A:

Betrachte die Ausgangsverteilung $\vec{v}_{0} = \begin{pmatrix} 100 \\ 10 \\ 5 \end{pmatrix}$. Berechne mit Hilfe der zum Modell gehörenden Prozessmatrix $P$ die Folgeverteilung $\vec{v}_{1}$. Was fällt auf? Erkläre, was das für die langfristige Entwicklung der Population bedeutet.

(b) Das Entwicklungsmodell wird wie folgt abgeändert:

Modell B:

Betrachte die Ausgangsverteilung $\vec{v}_{0} = \begin{pmatrix} 25 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Berechne mit Hilfe der zum Modell gehörenden Prozessmatrix $P$ die Folgeverteilungen $\vec{v}_{1}$ und $\vec{v}_{2}$. Was fällt auf? Erkläre, was das für die langfristige Entwicklung der Population bedeutet.

(c) Betrachte auch dieses Entwicklungsmodell:

Modell C:

Betrachte die Ausgangsverteilung $\vec{v}_{0} = \begin{pmatrix} 40 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$. Berechne mit Hilfe der zum Modell gehörenden Prozessmatrix $P$ die Folgeverteilungen $\vec{v}_{1}$ und $\vec{v}_{2}$. Was fällt auf? Erkläre, was das für die langfristige Entwicklung der Population bedeutet.

(d) Mit den folgenden Applets kannst du die langfristige Entwicklung der oben beschriebenen Entwicklungsmodelle experimentell untersuchen. Mit [Schritt ausführen] gelangst du immer zur Verteilung im nächsten Simulationsschritt. Variiere jeweils auch die Ausgangsverteilung. Beschreibe deine Beobachtungen. Erläutere die von GeoGebra erzeugten Ausgaben im unteren Fenster.

Aufgabe 4

Wir betrachten hier die Entwicklung einer Population weiblicher Wildtiere. Die Population besteht aus den 0-jährigen Kitzen (kurz K), den 1–jährigen Jungtieren (kurz J) und den erwachsenen Tieren (kurz: E), die mindestens 2 Jahre alt sind. Die Entwicklung wird mit folgender Übergangstabelle beschrieben:

(a) Beschreibe die Populationsentwicklung mit einem Übergangsgraph. Erläutere, was die Angaben in der Übergangstabelle bzw. im zugehörigen Übergangsgraph bedeuten.

(b) Betrachte die Ausgangsverteilung $\vec{v}_{0} = \begin{pmatrix} 115 \\ 60 \\ 320 \end{pmatrix}$. Berechne zunächst ohne Matrizenrechnung (d.h. nur mit der Deutung der Angaben in der Übergangstabelle) die Populationsverteilung nach einem Jahr (bzw. nach $1$ Simulationsschritt). Berechne anschließend noch einmal die Populationsverteilung nach einem Jahr mit Hilfe der zur Übergangstabelle gehörenden Prozessmatrix $P$.

(c) Mit weiteren Berechnungen erhält man $\vec{v}_{10} \approx \begin{pmatrix} 927 \\ 635 \\ 1117 \end{pmatrix}$, $\vec{v}_{11} \approx \begin{pmatrix} 1084 \\ 742 \\ 1306 \end{pmatrix}$, $\vec{v}_{12} \approx \begin{pmatrix} 1268 \\ 867 \\ 1527 \end{pmatrix}$.
Zeige: Es gilt $\vec{v}_{11} \approx 1.169 \cdot \vec{v}_{10}$ sowie $\vec{v}_{12} \approx 1.169 \cdot \vec{v}_{11}$. Deute diesen Zusammenhang.
Stelle eine Vermutung über das langfristige Verhalten der Populationsentwicklung auf.

(d) Um ein unkontrolliertes Anwachsen der Population zu verhindern, soll mit geeigneten Maßnahmen (wie dem Verabreichen von Hormonen) die Populationsentwicklung so reguliert werden, dass sie mit folgender neuen Prozessmatrix beschrieben werden kann:

$P = \begin{pmatrix} 0 & 1.25 & 0 \\ 0.8 & 0 & 0 \\ 0 & 0.65 & 0.8 \end{pmatrix}$

Deute zunächst diese neue Prozessmatrix. Was hat sich bei der Populationsentwicklung verändert?
Zeige: Bei der Ausgangsverteilung $\vec{v}_{0} = \begin{pmatrix} 250 \\ 200 \\ 650 \end{pmatrix}$ bleibt die Population stabil.