Erarbeitung
Zur Orientierung
Ziel ist es, die Entwicklung einer Population mit Altersklassen mathematisch zu beschreiben.
Die Populationsentwicklung mit Matrizenrechnung beschreiben
Im Prozesssimulationstool ProSiTo sind alle Daten zum bereits betrachteten Modell zur Entwicklung einer Mäusepopulation vorgegeben.
Aufgabe 1
Verdeutliche in ProSiTo:
Man kann den Übergangsgraph zur Populationsentwicklung mit einer Übergangstabelle und einer hierzu passenden Prozessmatrix darstellen.
Man kann die Altersverteilung der Population mit einem Verteilungsvektor darstellen.
Aufgabe 2
Führe folgende Aktionen in ProSiTo aus, um hinter die Kulissen der Berechnungen zu schauen.
- Blende die Übergangstabelle mit dem Button
aus. - Blende die Berechnungen zu den neuen Populationswerten mit dem Button
ein. - Wechsle mit dem Button
in den Ausführmodus. - Führe einen Berechnungsschritt aus.
- Um alle Daten sehen zu können, muss du ggf. mit dem Button
in die Vollbildsschirmansicht wechseln.
Erkläre mit den in ProSiTo dargestellten Berechnungen:
Den nächsten Verteilungvektor erhält man, indem man die Prozessmatrix mit dem aktuellen Verteilungsvektor multipliziert.
Aufgabe 2
Die Berechnungen zur Populationsentwicklung kann man übersichtlich mit den Matrix-Vektor-Produkt darstellen.
| Schritte | Verteilungsvektor | Berechnung |
|---|---|---|
| $0$ | $\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 100 \end{pmatrix}$ | |
| $1$ | $\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 650 \\ 10 \\ 50 \end{pmatrix}$ | $\vec{v}_1 = P \cdot \vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 0.5 & 4 & 2 \\ 0.1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \\ 100 \end{pmatrix}$ |
| $2$ | $\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 465 \\ 65 \\ 5 \end{pmatrix}$ | $\vec{v}_2 = \color{red}{\cdots}$ |
| ... | ... | ... |
(a) Kontrolliere die Berechnung von $\vec{v}_{1}$ mit dem Matrix-Vektor-Produkt.
(b) Ergänze in der Tabelle die mit $\color{red}{\cdots}$ markierten Teile und kontrolliere die Berechnung von $\vec{v}_{2}$ mit dem Matrix-Vektor-Produkt.
Aufgabe 3
Die Berechnung von Veteilungsvektoren wurde bisher rekursiv durchgeführt. Die folgende Übersicht zeigt, dass man bei der Berechnung auch anders vorgehen kann.
| Schritte | Verteilungsvektor | rekursive Darstellung | Umformung | Potenzschreibweise |
|---|---|---|---|---|
| $0$ | $\vec{v}_{0}$ | $= E \cdot \vec{v}_{0}$ | $= P^0 \cdot \vec{v}_{0}$ | |
| $1$ | $\vec{v}_{1}$ | $= P \cdot \vec{v}_{0}$ | $= P \cdot \vec{v}_{0}$ | $= P^1 \cdot \vec{v}_{0}$ |
| $2$ | $\vec{v}_{2}$ | $= P \cdot \vec{v}_{1}$ | $= P \cdot (P \cdot \vec{v}_{0}) = (P \cdot P) \cdot \vec{v}_{0}$ | $= P^2 \cdot \vec{v}_{0}$ |
| $3$ | $\vec{v}_{3}$ | $= P \cdot \vec{v}_{2}$ | $= P \cdot ((P \cdot P) \cdot \vec{v}_{0}) = (P \cdot P \cdot P) \cdot \vec{v}_{0}$ | $= P^3 \cdot \vec{v}_{0}$ |
| ... | ... | ... | ... | ... |
(a) Erkläre die Umformungen in der Übersicht. Erläutere auch, welches Rechengesetz dabei benutzt wird.
(b) Mache dir die Berechnung von Verteilungsvektoren mit Hilfe von Potenzen der Prozessmatrix in ProSiTo klar. Gehe in ProSiTo so vor:
- Wechsle mit dem Button in den Ausführmodus.
- Aktiviere die zusätzlichen Buttons
und 
. - Führe einen Berechnungsschritt aus.
Aufgabe 4
Begründe den folgenden Satz.
Simulation einer Populationsentwicklung
Wenn $\vec{v}_{0}$ die vorgegebene Verteilung der Populationsmitglieder auf die Altersklassen zu Beginn beschreibt, dann erhält man die weiteren Verteilungen nach $n$ Simulationsschritten wie folgt:
rekursiv: $\vec{v}_{n} = P \cdot \vec{v}_{n-1}$ (für alle $n > 0$)
explizit: $\vec{v}_{n} = P^{n} \cdot \vec{v}_{0}$ (mit der Matrixpotenz $P^n$)