Erarbeitung

Eine Population mit Alterklassen modellieren

Die Simulation einer Populationsentwicklung erfolgt schrittweise in fest vorgegebenen Zeiteinheiten (z.B. in Jahren). Wir betrachten hier Populationsentwicklungsmodelle, bei denen die Zustände ein erreichtes Alter (z.B. $3$ für $3$ Zeiteinheiten) beschreiben. Der folgende Graph zeigt ein Beispiel mit $4$ solchen Altersklassen.

Die Angaben an den horizontalen geradlinigen Übergängen geben Überlebensraten an, die Angaben an den gebogenen Übergängen Vermehrungsraten.

Aufgabe 1

(a) Ergänze folgende Sätze:

Der Übergang $0\stackrel{0.2}{⟶}1$ beschreibt, dass ....

Der Übergang $0\stackrel{0.4}{⟶}0$ beschreibt, dass ....

(b) Betrachte eine Situation, in der sich jeweils $100$ Individuen in den $4$ Altersgruppen befinden. Bestimme die Anzahl der Individuen in den Altergruppen nach $1$ Simulationsschritt.

Schritte	Verteilungsvektor
$0$	${\overrightarrow{v}}_0=\left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 100\\ 100\end{array}\right)$
$1$	${\overrightarrow{v}}_1=\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \\ \dots \\ \dots \end{array}\right)$

Zur Kontrolle

${\overrightarrow{v}}_1=\left(\begin{array}{c}460\\ 20\\ 80\\ 50\end{array}\right)$

(c) Beschreibe das Populationsentwicklungsmodell mit einer Prozessmatrix, so dass ${\overrightarrow{v}}_1=P\cdot {\overrightarrow{v}}_0$ gilt.

Übergangsgraph	Prozessmatrix
	$P=\left(\begin{array}{cccc}\dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}\right)$

Das Populationsentwicklungsmodell variieren

Das Populationsentwicklung wir jetzt wie folgt abgeändert.

Der Zustand $3+$ beschreibt die Klasse der Individuen, die mindesten $3$ Zeiteinheiten alt ist.

Aufgabe 2

(a) Deute den Übergang $3+\stackrel{0.05}{⟶}3+$.

(b) Betrachte erneut eine Situation, in der sich jeweils $100$ Individuen in den $4$ Altersgruppen befinden. Bestimme für das veränderte Modell die Anzahl der Individuen in den Altergruppen nach $1$ Simulationsschritt.

Schritte	Verteilungsvektor
$0$	${\overrightarrow{v}}_0=\left(\begin{array}{c}100\\ 100\\ 100\\ 100\end{array}\right)$
$1$	${\overrightarrow{v}}_1=\left(\begin{array}{c}\dots \\ \dots \\ \dots \\ \dots \end{array}\right)$

Zur Kontrolle

${\overrightarrow{v}}_1=\left(\begin{array}{c}460\\ 20\\ 80\\ 55\end{array}\right)$

(c) Beschreibe das abgeänderte Populationsentwicklungsmodell mit einer Prozessmatrix, so dass ${\overrightarrow{v}}_1=P\cdot {\overrightarrow{v}}_0$ gilt.

Übergangsgraph	Prozessmatrix
	$P=\left(\begin{array}{cccc}\dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{array}\right)$