Übungen - Zyklische Prozesse

Aufgabe 1

Eine Insektenpopulation wird vereinfacht mit folgendem Populationsentwicklungsmodell beschrieben: Aus Eiern entwickeln sich in einem Simulationsschritt Larven. Diese wiederum entwickeln sich im nächsten Simulationsschritt zu Insekten. Die Insekten legen nach einem weiteren Simulationsschritt eine Vielzahl an Eiern und sterben dann. Im Übergangsgraph sind die Vermehrungsrate und die jeweiligen Überlebensraten dargestellt. Wir gehen davon aus, dass diese Raten über mehrere Simulationsschritte gleich bleiben.

Übergangsgraph	Übergangstabelle	Prozessmatrix
	von Ei von La von In zu Ei $\dots$ $\dots$ $\dots$ zu La $\dots$ $\dots$ $\dots$ zu In $\dots$ $\dots$ $\dots$	$P=\left(\begin{array}{ccc}\cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\right)$

(a) Erläutere kurz die vereinfachenden Annahmen, die bei der Modellierung der Populationsentwicklung gemacht werden.

(b) Ergänze die Übergangstabelle und bestimme mit ihr die Prozessmatrix $P$.

(c) Starte mit der in der folgenden Übersicht angegebenen Anfangsverteilung. Berechne für drei Schritte den jeweils nächsten Verteilungsvektor. Für ${\overrightarrow{v}}_2$ ist ein Kontrollwert angegeben.

(d) Formuliere ausgehend von den Ergebnissen aus (c) eine Vermutung über die langfristige Entwicklung der Population.

(e) Berechne die Matrixpotenz $P^3$. Was lässt sich aus dieser Matrixpotenz erschließen?

Aufgabe 2

Gegeben ist die Prozessmatrix für eine Populationsentwicklung:

$P=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 20\\ 0.2& 0& 0& 0\\ 0& 0.5& 0& 0\\ 0& 0& 0.4& 0\end{array}\right)$

Betrachte die folgende Ausgangsverteilung:

${\overrightarrow{v}}_0=\left(\begin{array}{c}400\\ 200\\ 500\\ 40\end{array}\right)$

(a) Zeige, dass $P^4=0.8\cdot E$ gilt. Die Matrix $E$ ist dabei die $4$-dimensionale Einheitsmatrix.

(b) Bestimme mit dem Ergebnis aus (a) die Verteilung nach acht Simulationsschritten.

(c) Gesucht ist die Verteilung nach zehn Simulationsschritten. Erläutere und ergänze die folgende Rechnung.

${\overrightarrow{v}}_{10}=P^{10}\cdot {\overrightarrow{v}}_0=(P^2\cdot P^4\cdot P^4)\cdot {\overrightarrow{v}}_0=P^2\cdot (P^4\cdot (P^4\cdot {\overrightarrow{v}}_0))=\dots$

(d) Berechne analog die Verteilung nach $21$ Simulationsschritten.

Aufgabe 3

Betrachte eine Populationsentwicklung mit folgender Prozessmatrix:

$P=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 50\\ a& 0& 0& 0\\ 0& 0.2& 0& 0\\ 0& 0& 0.5& 0\end{array}\right)$

Mit geeigneten Maßnahmen (wie Fressfeinde) soll die Population langfristig stabil bleiben. Es soll also weder zu einer unkontrollierten Vermehrung noch zu einem Aussterben der Population kommen. Bestimme eine hierfür geeignete Überlebensrate $a$.

Aufgabe 4

Eine Population mit den Entwicklungsstadien Ei-Larve-Insekt zeigt folgende Verteilungswerte:

Rekonstruiere mit diesen Daten das Populationsentwicklungsmodell. Beschreibe es mit einem Übergangsgraphen.

Aufgabe 5

Betrachte eine Populationsentwicklung mit folgender Prozessmatrix:

$P=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 10\\ 0.4& 0& 0\\ 0& 0.25& 0\end{array}\right)$

Betrachte die Verteilung nach einem Simulationsschritt:

${\overrightarrow{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1000\\ 40\\ 25\end{array}\right)$

(a) Wie erhält man die Ausgangsverteilung ${\overrightarrow{v}}_0$? Bestimme diese Ausgangsverteilung.

(b) Bestimme die inverse Matrix $P^{-1}$. Welche Bedeutung hat diese Matrix bei der Simulation der Populationsentwicklung?