Vertiefung

Das Populationsentwicklungsmodell untersuchen

Aufgabe 1

(a) Zeige: Es gilt ${\overrightarrow{v}}_1=P\cdot {\overrightarrow{v}}_0=(-0.4)\cdot {\overrightarrow{v}}_0$. Führe hierzu die folgende Berechnung aus.

${\overrightarrow{v}}_1=P\cdot {\overrightarrow{v}}_0=\left(\begin{array}{cc}0.8& 4\\ 0.36& 0.8\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-10\\ 3\end{array}\right)=\dots$

(b) Zeige, dass man hieraus folgende Formel erhält:

${\overrightarrow{v}}_i=(-0.4{)}^i\cdot {\overrightarrow{v}}_0$ für $i=1,2,\dots$

Aufgabe 4

(a) Zeige, dass man ${\overrightarrow{v}}_0$ auch so darstellen kann:

${\overrightarrow{v}}_0=3\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_1}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)}}+1\cdot \underset{{\overrightarrow{w}}_2}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}-10\\ 3\end{array}\right)}}=\dots$.

(b) Benutze die bereits bekannten Zusammenhänge $P\cdot {\overrightarrow{w}}_1=2\cdot {\overrightarrow{w}}_1$ und $P\cdot {\overrightarrow{w}}_2=(-0.4)\cdot {\overrightarrow{w}}_2$, um Formeln für die folgenden Verteilungsvektoren herzuleiten.

${\overrightarrow{v}}_1=P\cdot {\overrightarrow{v}}_0=P\cdot (3\cdot {\overrightarrow{w}}_1+1\cdot {\overrightarrow{w}}_2)=\dots$

${\overrightarrow{v}}_2=P\cdot {\overrightarrow{v}}_1=\dots$

${\overrightarrow{v}}_i=\dots$

(c) Berechne ${\overrightarrow{v}}_{10}$ mit der Formel für ${\overrightarrow{v}}_i$ aus (b). Warum ist das jetzt so einfach? Kontrolliere dein Ergebnis im Applet oben.

(d) Begründe mit der Formel für ${\overrightarrow{v}}_i$: Die Population wächst auf lange Sicht exponentiell.