Strategie zur Abstandsbestimmung
Den Abstand zweier paralleler Ebenen systematisch bestimmen
Wir betrachten die folgende Problemsituation.
Gegeben sind zwei Ebenen $E_1$ und $E_1$ mit Hilfe passender Gleichungen (z.B. Ebenengleichungen in Normalenform). Vorausgesetzt wird, dass die beiden Ebenen parallel (oder identisch) sind.
Gesucht ist der Abstand $d(E_1, E_2)$ zwischen den Ebenen $E_1$ und $E_2$.
Zum Herunterladen: abstandee2.ggb
Da der Abstand der beiden parallelen Ebenen überall gleich groß ist, kann man ihn an beliebiger Stelle bestimmen. Zweckmäßig ist es, den Stützpunkt von einer der beiden Ebenen zu wählen und den Abstand dieses Punktes zur anderen Ebene zu bestimmen. Man nutzt also folgende Problemreduktion:
$d(E_1, E_2) = d(P_2, E_1)$ bzw. $d(E_1, E_2) = d(P_1, E_2)$
Den Abstand von $d(P_2, E_1)$ bzw. $d(P_1, E_2)$ bestimmt man jetzt mit dem bereits bekannten Verfahren aus den letzten Kapitel.
Die Strategie am Beispiel erproben
Benutze folgende Daten:
$E_1: \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) = 0$
$E_2: \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 6 \\ 1.5 \\ 6 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) = 0$
Aufgabe 1
Bestimme - wie oben beschrieben - den Abstand des Stützpunktes $P_2(6|1.5|6)$ von der Ebene $E_1$.
Schritt 1: Eine Hilfsgerade $h$ bestimmen, die durch $P_2$ geht und orthogonal zur Ebene $E_1$ ist.
$h$: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} 6 \\ 1.5 \\ 6 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $t \in \mathbb{R}$)
Schritt 2: Den Schnittpunkt $F$ der Geraden $h$ mit der Ebene $E_1$ bestimmen.
Man erhält den Schnittpunkt $F(4.5|0|4.5)$.
Schritt 3: Den Abstand von $P_2$ und $F$ bestimmen.
$d(P_2, F) = \left|\left(\begin{array}{c} -1.5 \\ -1.5 \\ -1.5 \end{array}\right)\right| \approx 2.6$
