Zusammenfassung - Abstand zu einer Geraden
Abstand eines Punktes von einer Geraden
Wir betrachten diese Problemsituation:
Gegeben ist eine Gerade $g$ mit einer geeigneten Geradengleichung sowie ein Punkt $P$.
Gesucht ist der Abstand $d(P, g)$ vom Punkt $P$ zur Geraden $g$.
Das Applet verdeutlicht das Vorgehen beim Lösen dieses Problems.
Zum Herunterladen: abstandpg4.ggb
Schritt 1: Einen Lotfußpunkt $F$ auf der Geraden $g$ bestimmen (mit einer Hilfsebene oder mit Orthogonalitätsüberlegungen) mit der Eigenschaft, dass der Vektor $\overrightarrow{PF}$ orthogonal zur Geraden $g$ ist.
Schritt 2: Den Abstand von $P$ und $F$ bestimmen.
Problemreduktion:
Das Problem "Abstand eines Punktes $P$ zu einer Geraden $g$" lässt sich auf das Problem "Abstand zwischen zwei Punkten" zurückführen, indem man den zugehörigen Lotfußpunkt $F$ bestimmt. Wir beschreiben diese Problemreduktion kurz mit folgender Formel.
$d(P, g) = d(P, F)$
Abstand paralleler Geraden
Wir betrachten diese Problemsituation.
Gegeben sind zwei Geraden $g$ und $h$ die parallel (oder identisch) sind.
Gesucht ist der Abstand $d(g, h)$ der beiden Geraden $g$ und $h$.
Zum Herunterladen: abstandggp2.ggb
Da der Abstand der beiden parallelen Geraden überall gleich groß ist, kann man ihn an beliebiger Stelle bestimmen. Zweckmäßig ist es, den Stützpunkt von einer der beiden Geraden zu wählen und den Abstand dieses Punktes zur anderen Geraden zu bestimmen. Man nutzt also folgende Problemreduktion:
Problemreduktion:
Das Problem "Abstand von zwei parallelen Geraden $g$ und $h$" lässt sich auf das Problem "Abstand eines Punktes von einer Geraden" zurückführen, indem man den Abstand des Stützpunktes einer Geraden zur anderen Geraden bestimmt. Wir beschreiben diese Problemreduktion kurz mit folgender Formel.
$d(g, h) = d(Q, g)$ bzw. $d(g, h) = d(P, h)$
Abstand windschiefer Geraden
Wir betrachten diese Problemsituation.
Gegeben sind zwei windschiefe Geraden $g$ und $h$.
Gesucht ist der Abstand $d(g, h)$ der beiden Geraden $g$ und $h$.
Zum Herunterladen: abstandggw3.ggb
Wenn man eine Parallele $g'$ zu $g$ durch $Q$ konstruiert und analog eine Parallele $h'$ zu $h$ durch $P$, dann entsteht folgende Konstellation.
Die Geraden $g$ und $h'$ legen eine Hilfsebene $G$ fest. Entsprechend legen die Geraden $h$ und $g'$ eine Hilfsebene $H$ fest.
Die beiden Ebenen $G$ und $H$ sind parallel, da die Geraden, aus denen die Ebenen entstanden sind, parallel sind.
Der geringste Abstand zwischen Punkten von $g$ und $h$ entspricht genau dem Abstand der beiden Hilfsebenen $G$ und $H$.
Problemreduktion:
Das Problem "Abstand windschiefer Geraden $g$ und $h$" lässt sich auf das Problem "Abstand paralleler Ebenen" und dieses wiederum auf das Problem "Abstand eines Punktes von einer Ebene" zurückführen. Hierzu werden zwei Hilfsebenen $G$ und $H$ aus den Geraden $g$ und $h$ konstruiert. Wir beschreiben diese Problemreduktion kurz mit folgender Formel.
$d(g, h) = d(G, H) = d(P, H) = d(Q, G)$
Beachte, dass es ausreicht, eine der beiden Hilfsebenen zu konstruieren und den Abstand des Stützpunktes der Geraden, die nicht in der Hilfsebene liegt, zur Hilfsebene zu bestimmen.
Zum Herunterladen: abstandggw4.ggb
