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Eine zweite Lösestrategie

Den Abstand eines Punktes von einer Ebene systematisch bestimmen

Wir betrachten folgende Problemsituation:

Gegeben: $g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 0 \end{array}\right)$ und $P(3|3|0)$

Gesucht: der Abstand $d(P, g)$ vom Punkt $P$ zur Geraden $g$

Zum Herunterladen: abstandpg4.ggb

Strategie: Eine Hilfsebene benutzen

Einen Lotfußpunkt $F$ kann man alternativ bestimmen, indem man eine Hilfsebene $H$ nutzt.

Schritt 1: Eine Hilfsebene $H$ bestimmen, die durch $P$ geht und orthogonal zur Geraden $g$ ist.

Schritt 2: Den Schnittpunkt $F$ der Geraden $g$ mit der Hilgsebene $H$ bestimmen.

Schritt 3: Den Abstand von $P$ und $F$ bestimmen.

Aufgabe 4

Beschreibe die Ebene $H$ mit einer Ebenengleichung in Normalenform.

$H: \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 0 \end{array}\right) = 0$

Aufgabe 5

Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes $F$.

Man löst die folgende Gleichung:

$\left[\left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 0 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 0 \end{array}\right) = 0$

Man erhält $t = 2$ und hiermit $F(2|1|2)$.

Aufgabe 6

Bestimme den Abstand von $P$ und $F$.

$d(P, F) = \left|\left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right)\right| = \sqrt{9} = 3$

Aufgabe 7

Vergleiche die beiden Strategien. Warum ist der inhaltliche Kern bei beiden gleich?

Aufgabe 8

Das Vorgehen benutzt die Strategie "Problemlösen durch eine Rückführung auf ein bereits lösbares Problem". Erläutere diese Strategie mit Hilfe der folgenden Formel:

$d(P, g) = d(P, F)$.

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