Zusammenfassung - Abstand Punkt-Punkt
Ein Beispiel
Gegeben sind die beiden Punkte $P(-2|3|0)$ und $Q(3|-1|4)$.
Gesucht ist der Abstand $d(P, Q)$ der beiden Punkte $P$ und $Q$.
Der Abstand der beiden Punkte $P$ und $Q$ entspricht der Länge des Vektorpfeils von $P$ nach $Q$ (bzw. der Länge des Vektorpfeils von $Q$ nach $P$). Die Länge dieses Vektorpfeils erhält man, indem man den Betrag des Vektors bestimmt. Es gilt also:
$d(P, Q) = | \overrightarrow{PQ} | = \left|\left(\begin{array}{c} 5 \\ -4 \\ 4 \end{array}\right)\right| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{57} \approx 7.55$
Verallgemeinerung
Satz:
Den Abstand $d(P, Q)$ zweier Punkt $P$ und $Q$ berechnet man mit Hilfe des Betrags des Vektors $\overrightarrow{PQ}$ bzw. $\overrightarrow{QP}$. Wenn $P$ die Koordinaten $P(p_1|p_2|p_3)$ und $Q$ die Koordinaten $Q(q_1|q_2|q_3)$ hat, dann gilt:
$d(P, Q) = | \overrightarrow{PQ} | = \left|\left(\begin{array}{c} q_1-p_1 \\ q_2-p_2 \\ q_3-p_3 \end{array}\right)\right| = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2 + (q_3-p_3)^2}$
Entsprechend gilt:
$d(P, Q) = | \overrightarrow{QP} | = \left|\left(\begin{array}{c} p_1-q_1 \\ p_2-q_2 \\ p_3-q_3 \end{array}\right)\right| = \sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2 + (p_3-q_3)^2}$
Im 2D-Fall geht man völlig analog vor.
