Eine zweite Lösung
Den Abstand windschiefer Geraden systematisch bestimmen
Wir betrachten folgende Problemsituation:
Gegeben: zwei windschiefe Geraden $g$ und $h$ mit
$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ -3 \\ 5 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$
$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)$
Gesucht: der (geringste) Abstand $d(g, h)$ der beiden Geraden
Zum Herunterladen: abstandggw3.ggb
Strategie: Eine Hilfsebene benutzen
Wenn man eine Parallele $g'$ zu $g$ durch $Q$ konstruiert und analog eine Parallele $h'$ zu $h$ durch $P$, dann entsteht folgende Konstellation.
Die Geraden $g$ und $h'$ legen eine Hilfsebene $G$ fest. Entsprechend legen die Geraden $h$ und $g'$ eine Hilfsebene $H$ fest.
Die beiden Ebenen $G$ und $H$ sind parallel, da die Geraden, aus denen die Ebenen entstanden sind, parallel sind.
Der geringste Abstand zwischen Punkten von $g$ und $h$ entspricht genau dem Abstand der beiden Hilfsebenen $G$ und $H$.
Zur Bestimmung des gesuchten Abstandes kann man diese Problemreduktionen nutzen:
$d(g, h) = d(G, H) = d(P, H) = d(Q, G)$
Wir gehen hier folgenden Weg:
Schritt 1: Eine Hilfsebene $H$ bestimmen, die durch die beiden Geraden $h$ und $g'$ aufgespannt wird.
Schritt 2: Den Abstand von $P$ zur Hilfsebene $H$ bestimmen.
Aufgabe 1
(a) Begründe, dass man die Ebene $H$ mit folgender Ebenengleichung in Parameterform beschreiben kann:
H: $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
(b) Beschreibe die Ebene $H$ auch mit einer Ebenengleichung in Normalenform.
$H: \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 1 \end{array}\right) = 0$
Aufgabe 2
(a) Bestimme die Koordinaten eines Lotfußpunktes $F$, der entsteht, wenn man das Lot vom Punkt $P$ auf die Hilfsebene $H$ fällt. Nutze hierzu eine geeignete Hilfsgerade $i$, die orthogonal zu $H$ ist und durch $P$ geht.
Man löst die folgende Gleichung:
$\left[\left(\begin{array}{c} -2 \\ -3 \\ 5 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 1 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0.5 \\ 1 \end{array}\right) = 0$
Mit $t = -2$ erhält man $F(0|-4|3)$.
(b) Bestimme den Abstand von $P$ und $F$.
$d(P, F) = \left|\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -2 \end{array}\right)\right| = \sqrt{9} = 3$
Aufgabe 3
Das Vorgehen benutzt die Strategie "Problemlösen durch eine Rückführung auf ein bereits lösbares Problem". Erläutere diese Strategie mit Hilfe der folgenden Formel:
$d(g, h) = d(G, H) = d(P, H) = d(Q, G)$
