Übungen - Abstand zu einer Ebene

Aufgabe 1: Abstandsberechnungen in einem Würfel

Das Applet zeigt einen Würfel mit der Kantenlänge 6.

Zum Herunterladen: wuerfel.ggb

Bestimme die folgenden Abstände:

(a) Abstand des Mittelpunktes $M$ des Würfels von der Ebene durch $B$, $D$, $E$ (blau) bzw. von der Ebene durch $F$, $C$, $H$ (grün).

(b) Abstand des Punktes $A$ von der Ebene durch $B$, $D$, $E$ (blau) und Abstand des Punktes $G$ von der Ebene durch $F$, $C$, $H$ (grün).

(c) Abstand der beiden Ebenen durch $B$, $D$, $E$ (blau) und durch $F$, $C$, $H$ (grün).

Aufgabe 2: Abstandsberechnung in einem Kinomodell

Im Kino Cinemax soll ein defekter Lautsprecher ersetzt werden. Der Hersteller von Lautsprechern rät, beim Betrieb seines Modells einen Mindestabstand von 5 Metern einzuhalten. Wird diese Entfernung unterschritten, so können Hörschäden auftreten. Hier die Maße des Kinos (mit der Ebene, in der die Köpfe der Besucher liegen) und die geplante Position des Lautsprechers:

Zum Herunterladen: kino.ggb

Untersuche, ob der Betrieb des Lautsprechers hier sinnvoll ist.

Aufgabe 3: Eine Spiegelung

(a) Wir starten mit dem 2D-Fall: Zeichne eine Gerade $g$ und einen Punkt $P$, der nicht auf der Geraden liegt. Spiegle nun mithilfe deines Geodreiecks den Punkt $P$ an der Geraden $g$. Nenne den gespiegelten Punkt $P'$.

(b) Beschreibe dein Vorgehen aus (a) und zeige Zusammenhänge zum Lotfußpunktverfahren auf.

(c) Übertrage das Vorgehen in den 3D-Fall. Spiegle dafür den Punkt $P(0 | 0 | 3)$ an der Ebene $E: \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) = 0$.

(d) Erkläre, warum es in Teil (c) geschickt war, die Ebenengleichung in Normalenform vorliegen zu haben.

(e) Nutze das kennenglernte Verfahren, um den Punkt $M$ aus Aufgabe 1 an verschioedenen Ebenen des Würfels zu spiegeln. Du kannst sehr leicht überprüfen, ob du alle Schritte richtig verfolgt hast, indem du kurz überlegst, wo der gespiegelte Punkt liegen muss.