Strategien zur Abstandsbestimmung
Den Abstand paralleler Geraden systematisch bestimmen
Wir betrachten folgende Problemsituation:
Gegeben sind zwei Geraden $g$ und $h$ mit Hilfe passender Gleichungen. Vorausgesetzt wird, dass die beiden G parallel (oder identisch) sind.
Gesucht ist der Abstand $d(g, h)$ der beiden Geraden $g$ und $h$.
Zum Herunterladen: abstandggp2.ggb
Da der Abstand der beiden parallelen Geraden überall gleich groß ist, kann man ihn an beliebiger Stelle bestimmen. Zweckmäßig ist es, den Stützpunkt von einer der beiden Geraden zu wählen und den Abstand dieses Punktes zur anderen Geraden zu bestimmen. Man nutzt also folgende Problemreduktion:
$d(g, h) = d(Q, g)$ bzw. $d(g, h) = d(P, h)$
Den Abstand von $d(Q, g)$ bzw. $d(P, h)$ bestimmt man jetzt mit dem bereits bekannten Verfahren aus den letzten Kapitel.
Die Strategie am Beispiel erproben
Benutze folgende Daten:
$g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)$
$h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$
Das Applet verdeutlicht das Vorgehen.
Zum Herunterladen: abstandggp3.ggb
Hier wird der Abstand des Punktes $Q$ auf $h$ zur Geraden $g$ bestimmt. Wir nutzen das Verfahren mit einer Hilfsebene $H$.
Aufgabe 1
Bestimme - wie oben beschrieben - den Abstand des Stützpunktes $Q(0|4|0)$ von der Geraden $g$.
Schritt 1: Eine Hilfsebene $H$ bestimmen, die durch $Q$ geht und orthogonal zur Geraden $h$ (und damit auch zu $g$) ist.
$H: \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right) = 0$
Schritt 2: Den Schnittpunkt $F$ der Geraden $g$ mit der Hilfsebene $H$ bestimmen.
Man erhält mit $r = 2$ den Schnittpunkt $F(2|0|0)$.
Schritt 3: Den Abstand von $P$ und $F$ bestimmen.
$d(P, F) = \left|\left(\begin{array}{c} -4 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)\right| = \sqrt{20} \approx 4.47$
Beurteile abschließend die Planung: Ist die Anforderung an den Gleisabstand erfüllt?
