Orthogonalität

Kopie mit Stand 11.01.2024

Achtung: Die Kapitel zur Analytischen Geometrie im Schulbuch werden gerade überarbeitet.

Dadurch können sich Inhalte kurzfristig ändern. Das gilt insbesondere für die Nummerierung von Seiten und Aufgaben.

Aus diesem Grund gibt es hier eine Kopie des Themenbereichs mit dem Stand vom 11.01.2024. Hier werden bis mindestens zu den Sommerferien im Jahr 2024 alle Inhalte unverändert belassen. Dadurch ändern sich die Nummern nicht; es werden in der Kopie aber auch keine Updates eingespielt.

Zur Orientierung

Orthogonalität ist ein zentraler Begriff in der Geometrie. Mit diesem Begriff beschreibt man, dass geometrische Objekte wie z.B. Geraden oder Ebenen senkrecht zueinander stehen, also zwischen ihnen ein rechter Winkel liegt.

Rechte Winkel kommen in vielen Anwendungen und im täglichen Leben vor:

• Soll auf einem Grundstück ein Haus gebaut werden, überprüft man, ob das Grundstück rechteckig ist – also die Grundstücksseiten senkrecht zueinander stehen. Das entspricht der Frage, ob zwei Vektoren orthogonal sind.
• Will man ein Dach mit Solarzellen bestücken, so sollen diese so ausgerichtet sein, dass sie möglichst viel Sonnenlicht „einfangen“. Dafür müssen die Solarzellen, beschrieben durch eine Ebene, orthogonal zum Lichteinfall, beschrieben durch einen Vektor oder eine Gerade, stehen.
• In einem Haus sollen Wände und Decken senkrecht aufeinander stehen. Das entspricht der Frage, ob zwei Ebenen orthogonal sind.

Auch innerhalb der analytischen Geometrie wird der neue Begriff vieles vereinfachen, weil durch Orthogonalität sehr einfach Ebenen beschrieben werden können.

In diesem Kapitel geht es darum, Orthogonalitätsprobleme mit Hilfe von Vektoren zu lösen. Die Verwendung von Vektoren ermöglicht es, Fragestellungen zur Orthogonalität geometrischer Objekte rechnerisch zu bearbeiten.

Wie gewohnt, werden dabei zuerst sehr einfache Fälle betrachtet (hier die Orthogonalität zweier Vektoren), bevor das Konzept auf kompliziertere Mengen (Geraden, Ebenen) und die Lagebeziehungen zwischen ihnen übertragen wird.