Strukturierung - Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen
Lagebeziehungen mit Stützpunkten, Richtungsvektoren und Normalenvektoren charakterisieren
Die Tabelle zeigt mögliche Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen. Beachte, dass die Lagebeziehung "schneiden sich orthogonal" ein Spezialfall der Lagebeziehung "schneiden sich" ist.
Gehe davon aus, dass die Gerade mit einer Geradengleichung in Parameterform und die Ebene mit einer Ebengleichung in Normalenform gegeben ist. Also: $g: \vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{u}$ und $E: [\vec{x} - \vec{p}] \cdot \vec{n} = 0$.
| Lagebeziehung | Veranschaulichung | Bedingung |
|---|---|---|
| die Gerade schneidet die Ebenen |  |
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| die Gerade schneidet die Ebene orthogonal |  |
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| die Gerade ist echt parallel zur Ebene |  |
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| die Gerade liegt in der Ebene |  |
Ziel ist es, passende Bedingungen für die jeweiligen Beziehungen zu ergänzen. Bearbeite hierz erst einmal die folgenden Aufgaben. Ergänze abschließend die Bedingungen.
Aufgabe 1
Gegeben ist die Gerade $g$ mit der Geradengleichung in Parameterform:
$g : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$
Ergänze die Lagebeziehungen der Gerade $g$ und der Ebene $E$ in der Tabelle (mit kurzer Begründung). Überprüfe mit dem Applet (siehe unten).
| Ebene $E$ | Lagebeziehung von $g$ und $E$ | Begründung |
|---|---|---|
| (a) $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) = 0$ | die Gerade schneidet die Ebene (nicht orthogonal) | $\vec{u}$ und $\vec{n}$ sind nicht orthogonal. Also schneidet die Gerade $g$ die Ebene $E$. Da $\vec{u}$ und $\vec{n}$ sind nicht linear abhängig sind, schneidet die Gerade $g$ die Ebene $E$ nicht orthogonal. |
| (b) $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) = 0$ | ||
| (c) $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = 0$ | ||
| (d) $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = 0$ | ||
| (e) $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) = 0$ |
Applet:
Zum Herunterladen: gerade_ebene1.ggb
Aufgabe 2
Ergänze passende Bedingungen in der Tabelle oben. Fasse dir die Ergebnisse in diesem Wissensspeicher zusammen.
