Überprüfung - Alles klar?
Aufgabe 1
Gegeben sind die drei Vektoren $\vec{u} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)$, $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right)$ und $\vec{w} = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$.
Welche dieser Vektoren sind orthogonal zueinander? Begründe mit dem Skalarprodukt.
- $\vec{u} \perp \vec{v}$, da $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 3 + 2 \cdot 0 = 0$.
- $\vec{u} \perp \vec{w}$, da $\vec{u} \cdot \vec{w} = 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 0$.
- $\vec{v} \perp \vec{w}$, da $\vec{v} \cdot \vec{w} = 0 \cdot (-2) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$.
Aufgabe 2
Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge $4$, der wie im Applet gezeigt im Koordinatensystem liegt. Wenn man benachbarte Seitenmitten des Würfels miteinander verbindet, erhält man einen Oktaeder.
Zum Herunterladen: oktaeder.ggb
(a) Wie begründet man mit Hilfe geeigneter Vektoren, dass das Viereck $LIJK$ nur rechte Winkel hat? Führe die Rechnungen exemplarisch durch.
(b) Wie begründet man mit Hilfe geeigneter Vektoren, dass das Dreieck $IJN$ keine rechten Winkel hat. Führe die Rechnungen exemplarisch durch.
(a) Man zeigt, dass $\overrightarrow{ IJ } \cdot \overrightarrow{ IL } = 0$, $\overrightarrow{ JI } \cdot \overrightarrow{ JK } = 0$, ...
Es gilt: $\overrightarrow{ IJ } \cdot \overrightarrow{ IL } = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)= (-2) \cdot (-2) + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 0 = 0$
(b) Man zeigt, dass $\overrightarrow{ IJ } \cdot \overrightarrow{ IN } \neq 0$, $\overrightarrow{ JI } \cdot \overrightarrow{ JN } \neq 0$, ...
Es gilt: $\overrightarrow{ IJ } \cdot \overrightarrow{ IN } = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)= (-2) \cdot (-2) + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 2 = 4 \neq 0$
Aufgabe 3
(a) Gegeben ist der Vektor $\vec{u} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \end{array}\right)$. Gesucht sind Vektoren, die orthogonal zu $\vec{u}$ sind.
(b) Gegeben ist der Vektor $\vec{u} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \\ 1 \end{array}\right)$. Gesucht sind (linear unabhängige) Vektoren, die orthogonal zu $\vec{u}$ sind.
(a) Gesucht ist ein Vektor $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array}\right)$ mit:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ bzw.
$\left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array}\right) = 0$ bzw.
$2v_1 - 6 v_2 = 0$.
Lösungen: z.B. $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right)$, $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array}\right)$, $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -1/3 \end{array}\right)$.
(b) Gesucht ist ein Vektor $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right)$ mit:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ bzw.
$\left(\begin{array}{c} 2 \\ -6 \\ 1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right) = 0$ bzw.
$2v_1 - 6 v_2 + v_3 = 0$.
Lösungen: z.B. $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$, $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$, $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 6 \end{array}\right)$, $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)$,
