Übungen - Orthogonalität und Lagebeziehungen

Aufgabe 1: Lagebeziehungen untersuchen

Gegeben sind die folgenden geometrischen Objekte:

$E_1 : 3x_1 + 4x_3 = 12$

$E_2 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = 0$

$g : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right)$

$E_3 : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$

Untersuche, welche Lagebeziehungen zwischen den Objekten jeweils vorliegt (mit Begründung). Fertige eine Skizze an, in der die Lage der Objekte zueinander verdeutlicht wird.

Aufgabe 2: Eine geometrische Konstellation erstellen

(a) Gegeben ist die Ebene $E_1$:

$E_1 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = 0$

Folgende Situation soll erzeugt werden:

• $E_2$ und $E_3$ sind orthogonal zu $E_1$.
• $E_2$ und $E_3$ sind echt parallel.
• $g$ schneidet $E_2$ und $E_3$ orthogonal.
• $g$ liegt nicht $E_1$.

(b) Gegeben ist die Ebene $E_1$:

$E_1 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) = 0$

Folgende Situation soll erzeugt werden:

• $E_2$ ist echt parallel zu $E_1$.
• $E_3$ ist orthogonal zu $E_1$.
• $g_1$ und $g_2$ schneiden $E_1$ orthogonal.
• $g_1$ und $g_2$ sind nicht identisch.