Übungen - Normalendarstellung von Ebenen und Geraden

Aufgabe 1: Ebenengleichungen in Normalenform deuten

Betrachte einen Würfel mit der Kantenlänge 4, der wie im Applet gezeigt im Koordinatensystem liegt.

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Wie ändert sich jeweils die Ebenengleichung? Welche Auswirkung hat das auf die Lage der Ebene? Verdeutliche die Zusammenhänge ggf. in einem Modell / in einer Skizze. Formuliere die Zusammenhänge mit passenden Fachbegriffen.

(a) $E_1 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = 0$, $E_2 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = 0$, $E_3 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) = 0$

(b) $E_1 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = 0$, $E_2 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = 0$, $E_3 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = 0$

(c) $E_1 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = 0$, $E_2 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = 0$, $E_3 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = 0$

(d) $E_1 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = 0$, $E_2 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} -4 \\ -4 \\ -4 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right) = 0$,

Aufgabe 2: Ebenengleichungen in Normalenform aufstellen

Betrachte einen Würfel mit der Kantenlänge 4, der wie im Applet gezeigt im Koordinatensystem liegt.

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Bestimme jeweils eine Ebenengleichung in Normalenform. Warum kann man in beiden Teilaufgaben jeweils denselben Normalenvektor benutzen?

(a) Ebene durch $B$, $C$, $G$, $F$; Ebene durch $I$, $K$, $S$, $Q$; Ebene durch $A$, $D$, $H$, $E$

(b) Ebene durch $E$, $G$, $C$, $A$; Ebene durch $T$, $S$, $K$, $L$; Ebene durch $Q$, $R$, $J$, $I$

Aufgabe 3: Sonderfälle betrachten

Was ist das Besondere an den folgenden Ebenen? Mache dir die Besonderheiten in einem Modell / in einer Skizze klar. Kannst du mit den gewonnenen Erkenntnissen den (kürzesten) Abstand der Ebenen zum Ursprung ermitteln? Erläutere deine Überlegungen und Rechnungen.

(a) $E_1 : \vec{x} \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) = 0$, $E_2 : \vec{x} \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right) = 0$, $E_3 : \vec{x} \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) = 0$

(b) $E_1 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) = 0$, $E_2 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) = 0$, $E_3 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) = 0$

Aufgabe 4: Punktproben durchführen

Gegeben ist die Ebene $E$ mit folgender Ebenengleichung in Normalenform:

$E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right) = 0$,

Die aufgelisteten Punkte liegen alle in der Ebene $E$:

A: $(-2|2|4)$, $(-2|3|4)$, $(-2|4|4)$, $(-2|5|4)$, ...

B: $(-2|2|4)$, $(-1|2|5)$, $(0|2|6)$, $(1|2|7)$, ...

(a) Überprüfe mit Punktproben, dass alle Punkte der Punktfolgen A und B tatsächlich in der Ebene $E$ liegen.

(b) Was fällt auf, wenn man sich die Folge der Punkte genauer anschaut? Setze die Folge der Punkte jeweils passend fort.

(c) Begründe, dass die Punkte einer Punktfolge auf einer Geraden liegen. Welche besondere Eigenschaft haben die Geraden? Erläutere.

(d) Konstruiere selbst eine weitere Folge von Punkten, die alle in der Ebene $E$ liegen.

Aufgabe 5: Analogien zum 2D-Fall herstellen

(a) Die Lage der Geraden $g$ im Applet lässt sich verändern, indem man die Vektoren $\vec{p}$ und $\vec{n}$ mit Hilfe der Punkte $P$ und $N$ variiert.

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Stelle die Vektoren $\vec{p}$ und $\vec{n}$ so ein, dass die vorgegebenen Geraden $h1$, $h2$ bzw. $h3$ erfasst werden. Bei passender Wahl (es gibt immer mehrere Möglichkeiten) liegen $g$ und die betrachtete Gerade übereinander. Dokumentiere die Ergebnisse.

(b) Die Lage der Geraden $g$ wird hier mit $\vec{p} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right)$ und $\vec{n} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 5 \end{array}\right)$ festgelegt.

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Ermittle mit dem Skalarprodukt, welcher der folgenden Punkte auf $g$ liegt: $A(0|1.5)$, $B(-1.8|2)$, $C(4|0.8)$, $D(5|0.6)$.

(c) Die Lage einer Geraden $g$ wird einem Stützvektor $\vec{p}$ und einem Normalenvektor $\vec{n}$ festgelegt.

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Ergänze die Bedingung:

Ein Punkt $X$ liegt auf der Geraden $g$ genau dann, wenn ... gilt.