Vertiefung - Konstruktion orthogonaler Vektoren
Zielsetzung
Du kannst bereits überprüfen, ob zwei Vektoren orthogonal zueinander sind. Auf dieser Seite wird das Problem umgedreht: Ein Vektor $\vec{v}$ ist vorgegeben und es soll ein weiterer Vektor gefunden werden, der orthogonal zu $\vec{v}$ steht.
Ein Rechteck konstruieren
Eine Seite eines Rechtecks ist mit den Punkten $A(-3|1)$ und $B(3|3)$ bereits vorgegeben. Diese Seite soll zu einem Rechteck $ABCD$ ergänzt werden.
Im Applet kannst du einen möglichen Punkt $D$ hier leicht durch Probieren finden. Teste selbst. Aber, wie geht das, wenn man kein Applet zum Probieren zur Verfügung hat?
Zum Herunterladen: skalarprodukt3.ggb
Man stellt eine Orthogonalitätsbedingung auf:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
bzw.
$\left(\begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array}\right) = 0$
bzw.
$6v_1 +2v_2 = 0$
Aufgabe 1
(a) Erläutere, wie die Gleichung $6v_1 +2v_2 = 0$ hier zustande kommt.
(b) Bestimme mögliche Lösungen dieser Gleichung in der Form $(v_1; v_2) = (...; ...)$.
(c) Begründe (geometrisch und rechnerisch): Es gibt unendlich viele Vektoren, die die Orthogonalitätsbedingung erfüllen.
(d) Bestimme für ein mögliches Rechteck die Koordinaten der Punkte $C$ und $D$. Dokumentiere die Überlegungen und Rechnungen.
(e) Q. behauptet: Wenn ich zum Vektor $\vec{u} =\left(\begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array}\right)$ den Vektor $\vec{v} =\left(\begin{array}{c} -2 \\ 6 \end{array}\right)$ wähle, erhalte ich sogar ein Quadrat. Stimmt das? Untersuche und Begründe. Erläutere auch die Strategie, die Q. hier benutzt hat, um ganz schnell zum Vektor $\vec{v}$ zu gelangen.
Eine Orthotour konstruieren
Ein Käfer soll eine Orthotour fliegen. Eine Orthotour soll eine Tour sein, bei der der Käfer immer einen Teilweg geradeaus fliegt und dann die Richtung so abändert, dass der nächste Teilweg orthogonal zum vorherigen Teilweg ist.
- Klicke mit der rechten Maustaste auf den Link vektor.xml und speichere die Datei (Ziel speichern unter...) in einem Ordner.
- Öffne die Seite beetleblocks.com und klicke oben rechts auf "Run Beetle Blocks".
- Klicke in der Menu-Leiste links oben auf das Dateisymbol und wähle anschließend "Import project or blocks" aus.
- Navigiere zum Ordner, in dem du die xml-Datei gespeichert hast, wähle sie aus und klicke auf „Öffnen“.
In der mittleren Spalte siehst du die hellblauen Blöcke, die durch die xml-Datei importiert wurden. Du kannst im Ausgangspunkt-Block die drei Koordinaten des Ausgangspunktes ändern und in einem Bewegungs-Block die Einträge der Bewegung ändern. Die einzelnen Blöcke lassen sich durch Verschieben auch neu anordnen oder löschen.
Wenn du weitere Bewegungsblöcke brauchst, kannst du in er linken Spalte unter "My blocks" einen neuen Block auswählen und unter die bisherigen Blöcke ziehen.
Wenn du auf ein Block-Paket klickst, erhält es kurz einen grünen Rahmen und der Käfer im rechten Fenster fliegt die angegebene Bewegung.
Startpunkt der Orthotour ist der Ursprung $(0|0|0)$.
Das erste Teilstück soll mit den Bewegungsvektor $\vec{u} =\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right)$ erfolgen. Das wird hier so vorgegeben. Du kannst hier auch einen anderen Vektor wählen.
Der nächste Bewegungsvektor $\vec{v} =\left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right)$ soll dann so konstruiert werden, dass er orthogonal zum vorherigen Bewegungsvektor $\vec{u} =\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right)$ ist.
Folgende Bedingung muss also erfüllt sein:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
bzw.
$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right) = 0$
bzw.
$v_1 +4v_2 + 2v_3 = 0$
Gesucht ist jetzt eine Lösung dieser Gleichung. Wir schränken die Möglichkeiten etwas ein. Eine Koordinate des Vektors $\vec{v}$ wird mit einem Würfel bestimmt. Würfeln ergibt z.B. die Zahl $3$. Eine der Koordinaten von $\vec{v}$ soll dann den Wert $3$ oder $-3$ haben.
Eine mögliche Lösung wäre $\vec{v} =\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right)$. Prüfe es selbst nach. Dieser Vektor legt somit den zweiten Teilweg fest.
Und so weiter ... Jetzt beschreibt $\vec{u} =\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right)$ den vorherigen Teilweg. Gesucht ist eine Fortsetzung mit $\vec{v} =\left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right)$, die orthogonal zum vorherigen Teilweg ist und bei der eine Koordinate mit einem Würfel (wie oben) festgelegt wird.
Aufgabe 2
Die Bestimmung einer Orthotour kannst du alleine oder abwechselnd mit einem Partner / einer Partnerin durchführen.
Zur Kontrolle kannst du / könnt ihr den Käfer auf der Seite beetleblocks.com nutzen.
Importiere die Datei vektor.xml. Mit den Blöcken [Ausgangspunkt] und [Vektor] kannst du die Bewegung eines (fliegenden) Käfers festlegen.
Gib nach und nach die Käfertour ein und kontrolliere durch Drehen der Ansicht, ob die Teilwege tatsächlich orthogonal zueinander sind.
Zusatzbedingung: Versuche, durch eine geeignete Wahl der Vektoren den Käfer immer in der Nähe des Startpunktes zu halten.
Einen Quader konstruieren
Ein Quader ist ein 3D-Körper, dess Seitenflächen alle recteckig sind. Kanten, die an den Ecken zusammenstoßen, müssen also jeweils orthogonal zueinander sein.
Es ist gar nicht so einfach, einen Quader im Raum zu konstruieren. Durch Probieren kommt man hier nicht so einfach zu Ergebnissen. Ziel ist es, ein Verfahren für die Quaderkonstruktion mit Hilfe von Vektorgeometrie zu entwickeln.
Der Quader soll von einem Punkt $P$ im 3D-Raum mit drei Vektoren $\vec{u}$, $\vec{v}$ und $\vec{w}$ aufgespannt werden. Das Applet zeigt einen ersten Versuch. Offensichtlich ist hier kein Quader entstanden.
Zum Herunterladen: quader3.ggb
Aufgabe 3
(a) Behalte die Koordinaten von $\vec{u}$ bei. Verändere in einem ersten Schritt die Koordinaten von $\vec{v}$ so, dass die beiden Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ orthogonal zueinander sind. Stelle hierzu erst einmal eine Orthogonalitätsbedingung in Form einer Gleichung auf und bestimme eine Lösung dieser Gleichung. Kontrolliere mit dem Applet.
Orthogonalitätsbedingung:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
bzw.
$\left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right) = 0$
bzw.
$4v_1 +3v_2 + 4v_3 = 0$
Lösung: z.B. $(v_1;v_2;v_3) = (0;-4;3)$
(b) Behalte jetzt die Koordinaten von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ bei. Ziel ist es, die Koordinaten von $\vec{w}$ so abzuändern, dass $\vec{w}$ orthogonal zu $\vec{u}$ und orthogonal zu $\vec{v}$ ist. Stelle eine geeignete Orthogonalitätsbedingung in Form von zwei Gleichungen auf und bestimme eine Lösung dieses Gleichungssystems. Kontrolliere mit dem Applet.
Wir nutzen hier das Ergebnis $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ 3 \end{array}\right)$ aus Hinweis 1.
Orthogonalitätsbedingung:
$\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$ und $\vec{v} \cdot \vec{w} = 0$
bzw.
$\left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{array}\right) = 0$ und $\left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ 3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{array}\right) = 0$
bzw.
$\begin{array}{lrcrcrcr} [1] &\quad 4w_1 &+& 3w_2 &+& 4w_3 & = & 0 \\ [2] &\quad &+& -4w_2 &+& 3w_3 & = & 0 \end{array}$
Lösung: z.B. $(w_1;w_2;w_3) = (-6.25;-4;3)$
(c) Es gibt viele verschiedene Quader, die man hier konstruieren kann. Entwickle selbst mindestens einen weiteren Quader und dokumentiere die Überlegungen und Rechnungen.
