o-mathe | Koordinatendarstellung von Ebenen und Geraden » Übungen - Koordinatendarstellung von Ebenen und Geraden

Übungen - Koordinatendarstellung von Ebenen und Geraden

Aufgabe 1: Ebenengleichungen deuten und umwandeln

Gegeben ist eine quadratische Pyramide mit der Grundseite 6 und der Höhe 4.

Zum Herunterladen: pyramide.ggb

(a) Ermittle, welche Pyramidenseite mit welcher der folgenden Ebenengleichungen in Normalenform beschrieben wird.

$E_{1} : [\vec{x} - (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) = 0$ , $E_{2} : [\vec{x} - (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) = 0$ , $E_{3} : [\vec{x} - (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) = 0$ , $E_{4} : [\vec{x} - (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 4 \\ 3 \end{matrix}) = 0$ .

(b) Bestimme für alle Ebenen eine Ebenengleichung in Koordinatenform.

Aufgabe 2: Ebenengleichungen variieren

Betrachte die Ebenengleichung $E : [\vec{x} - (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) = 0$ .

Wie ändert sich die zugehörige Ebenengleichung in Koordinatenform, wenn man

den Normalenvektor zur Ebene durch einen anderen Normalenvektor ersetzt?
den Stützpunkt der Ebene durch einen anderen Punkt der Ebene ersetzt?

Probiere das mit der gegebenen Ebenen aus. Formuliere ein Ergebnis.

Aufgabe 3: Ebenen mit Ebenengleichungen beschreiben

Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge 4. Die Ecken sollen wie in im Applet bezeichnet sein.

Zum Herunterladen: wuerfel.ggb

Beschreibe möglichst viele Ebenen, die durch Eckpunkte des Würfels festgelegt werden, durch eine Ebenengleichung in Koordinatenform. Am besten, du stellst hierzu erst einmal eine Ebenengleichung in Normalenform (kurz: ENF) auf und wandelst sie dann in eine Ebenengleichung in Koordinatenform (kurz: EKF) um. Ordne abschließend die Ebenengleichungen in Koordinatenform der Gestalt $a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} = d$ danach, wie viele der Parameter $a, b, c$ ungleich Null sind. Stelle Beziehungen zur Lage der jeweiligen Ebenen her.

Ebene	ENF	EKF
$E_{B C G F}$	$[\vec{x} - (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = 0$	$x_{2} = 4$
$E_{B C H E}$	$[\vec{x} - (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = 0$	$2 x_{1} + 2 x_{3} = 8$

Aufgabe 4: Geraden in der 2D-Ebene

Eine Gerade in der 2D-Ebene kann man mit einer Geradengleichungen in Normalenform (kurz: GNF) und - äquivalent hierzu - mit einer Geradengleichungen in Koordinatenform (kurz: GKF) beschreiben.

Zum Herunterladen: koordinatenform2.ggb

Bestimme jeweils die fehlenden Darstellungen. Beachte, dass in der Tabelle auch ein "Zwischenprodukt" angegeben ist. Das kannst du auch weglassen. Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem Applet.

GNF	...	GKF
$[\vec{x} - (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) = 0$	$(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})$	$x_{1} + 2 x_{2} = 7$
$[\vec{x} - (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = 0$
$[\vec{x} - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 1 \end{matrix}) = 0$
		$- x_{1} + 3 x_{2} = 4$
		$2 x_{2} = - 4$

Übungen - Koordinatendarstellung von Ebenen und Geraden

Aufgabe 1: Ebenengleichungen deuten und umwandeln

Aufgabe 2: Ebenengleichungen variieren

Aufgabe 3: Ebenen mit Ebenengleichungen beschreiben

Aufgabe 4: Geraden in der 2D-Ebene

Suche

Rückmeldung geben