Übungen - Koordinatendarstellung von Ebenen und Geraden
Aufgabe 1: Ebenengleichungen deuten und umwandeln
Gegeben ist eine quadratische Pyramide mit der Grundseite 6 und der Höhe 4.
Zum Herunterladen: pyramide.ggb
(a) Ermittle, welche Pyramidenseite mit welcher der folgenden Ebenengleichungen in Normalenform beschrieben wird.
$E_1 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) = 0$, $E_2 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array}\right) = 0$, $E_3 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) = 0$, $E_4 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ 3 \end{array}\right) = 0$.
(b) Bestimme für alle Ebenen eine Ebenengleichung in Koordinatenform.
Aufgabe 2: Ebenengleichungen variieren
Betrachte die Ebenengleichung $E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) = 0$.
Wie ändert sich die zugehörige Ebenengleichung in Koordinatenform, wenn man
- den Normalenvektor zur Ebene durch einen anderen Normalenvektor ersetzt?
- den Stützpunkt der Ebene durch einen anderen Punkt der Ebene ersetzt?
Probiere das mit der gegebenen Ebenen aus. Formuliere ein Ergebnis.
Aufgabe 3: Ebenen mit Ebenengleichungen beschreiben
Gegeben ist ein Würfel mit der Kantenlänge 4. Die Ecken sollen wie in im Applet bezeichnet sein.
Zum Herunterladen: wuerfel.ggb
Beschreibe möglichst viele Ebenen, die durch Eckpunkte des Würfels festgelegt werden, durch eine Ebenengleichung in Koordinatenform. Am besten, du stellst hierzu erst einmal eine Ebenengleichung in Normalenform (kurz: ENF) auf und wandelst sie dann in eine Ebenengleichung in Koordinatenform (kurz: EKF) um. Ordne abschließend die Ebenengleichungen in Koordinatenform der Gestalt $ax_1 + bx_2 + cx_3 = d$ danach, wie viele der Parameter $a, b, c$ ungleich Null sind. Stelle Beziehungen zur Lage der jeweiligen Ebenen her.
| Ebene | ENF | EKF |
|---|---|---|
| $E_{BCGF}$ | $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) = 0$ | $x_2 = 4$ |
| $E_{BCHE}$ | $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = 0$ | $2x_1 + 2x_3 = 8$ |
Aufgabe 4: Geraden in der 2D-Ebene
Eine Gerade in der 2D-Ebene kann man mit einer Geradengleichungen in Normalenform (kurz: GNF) und - äquivalent hierzu - mit einer Geradengleichungen in Koordinatenform (kurz: GKF) beschreiben.
Zum Herunterladen: koordinatenform2.ggb
Bestimme jeweils die fehlenden Darstellungen. Beachte, dass in der Tabelle auch ein "Zwischenprodukt" angegeben ist. Das kannst du auch weglassen. Kontrolliere deine Ergebnisse mit dem Applet.
| GNF | ... | GKF |
|---|---|---|
| $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) = 0$ | $\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right)$ | $x_1 + 2x_2 = 7$ |
| $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) = 0$ | ||
| $\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ -1 \end{array}\right) = 0$ | ||
| $-x_1 + 3x_2 = 4$ | ||
| $2x_2 = -4$ |
