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Strukturierung - Ebenengleichung in Normalenform

Zielsetzung

Auf der vorangegangenen Seite hast du festgestellt, dass du eine Ebene mithilfe eines Stützvektors und eines Normalenvektors beschreiben kann. Diese Erkenntnis bringt uns nun zu einer neuen Gleichung zur Beschreibung von Ebenen.

Eine Ebene mit einer Gleichung beschreiben

Betrachte einen Würfel mit der Kantenlänge 4, der wie im Applet gezeigt im Koordinatensystem liegt.

Zum Herunterladen: wuerfel3.ggb

Mit der folgenden Vektorgleichung kann man eine Ebene beschreiben. Man nennt sie auch Ebenengleichung in Normalenform. Ziel ist es herauszufinden, welche Ebene das ist.

$E_1 : \left[\vec{x} - \underbrace{\left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)}_{\vec{p}}\right] \cdot \underbrace{\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)}_{\vec{n}} = 0$

Aufgabe 1

Die Ebenengleichung verwendet den Stützvektor $\vec{p} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ und den Normalenvektor $\vec{n} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)$. Verdeutliche diese Vektoren am Würfel. Stelle eine Vermutung auf, welche Ebene mit der gegebenen Gleichung beschrieben wird.

Eine Punktprobe durchführen

Wie überprüft man mit der Ebenengleichung, ob eine Punkt $X$ in der Ebene $E_1$ liegt? Im letzten Abschnitt hast du die folgende Bedingung hergeleitet:

Ein Punkt $X$ mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ liegt in der mit $\vec{p}$ und $\vec{n}$ beschriebenen Ebene genau dann, wenn gilt: $(\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$.

Für den Punkt $X(4|4|0)$ erhält man auf diese Weise:

$\left[\left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 0 \end{array}\right) = -8$ $\Rightarrow$ $X$ liegt nicht in der Ebene $E_1$.

Aufgabe 2

Gehe analog vor und überprüfe, welche Eckpunkte des Würfels in der Ebene $E_1$ liegen. Die Punktproben kannst du jeweils mit dem Applet überprüfen. Stimmt deine Vermutung aus Aufgabe 1?

Ebenengleichungen direkt durchschauen

Mit dem Wissen über Ebenengleichungen der Gestalt $(\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$ kannst du die folgende Aufgabe mental im Kopf bearbeiten.

Aufgabe 3

Hier sind weitere Ebenen mit Ebenengleichungen in Normalenform gegeben. Mache dir jeweils die Lage des Stützvektors und des Normalenvektors am Würfel klar und ermittle so, welche Ebene hier beschrieben wird.

  • $E_2 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 4 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) = 0$
  • $E_3 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) = 0$
  • $E_4 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) = 0$
  • $E_5 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) = 0$
  • $E_6 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) = 0$
  • $E_7 : \vec{x} \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) = 0$
  • $E_8 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 4 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) = 0$

Ebenengleichungen selbst aufstellen

Wenn man eine Ebenengleichung in Normalenform selbst aufstellen möchte, muss man sich nur einen Stützvektor und einen Normalenvektor der Ebene besorgen.

Aufgabe 4

Beschreibe die folgenden Ebenen am Würfel mit Ebenengleichungen in Normalenform. Du kannst die Ergebnisse aus Aufgabe 1 des letzten Abschnitts hier benutzen.

  1. Ebene durch $E$, $F$, $G$, $H$
  2. Ebene durch $E$, $F$, $B$, $A$
  3. Ebene durch $B$, $C$, $G$, $F$
  4. Ebene durch $A$, $D$, $H$, $E$
  5. Ebene durch $E$, $F$, $C$, $D$
  6. Ebene durch $B$, $C$, $H$, $E$
  7. Ebene durch $F$, $C$, $H$
  8. Ebene durch $E$, $B$, $D$

Das neue Wissen festhalten

Aufgabe 5

In der folgenden LearningApp siehst du die Bestandteile einer Ebenengleichung in Normalenform. Beschrifte sie passend. Erkläre dann mit den Begriffen die Funktionsweise der Ebenengleichung:

„Wenn das Skalarprodukt 0 ist, dann liegt der Verbindungsvektor vom Stützpunkt zu $X$, ... Deshalb ... Also ... Wenn das Skalarprodukt nicht 0 ist, dann ...“

Aufgabe 6

Halte das Gelernte in den oberen beiden Boxen des Wissensspeichers fest.

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108.5.2.3
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