Erkundung - Nivellierung eines Geländes
Ein Gelände nivellieren
Beim Nivellieren eines Grundstücks versucht man, bei Bauvorhaben das Gelände so aufzubereiten, dass eine ebene Fläche entsteht - z.B., wenn ein größerer Platz angelegt werden soll.
Wir betrachten hier ein Nivellierproblem, bei dem bereits viel Vorarbeit geleitet wurde. Das Grundstück wurde bereits vermessen und in weiten Teilen nivelliert, so dass die Eckpunkte des Grundstücks bekannt sind. Das folgende Applet zeigt das Grundstück mit einem Blick von oben.
Zum Herunterladen: gelaende1.ggb
Aufgabe 1
Verschaffe dir im Applet durch Drehen und Kippen einen Überblick über die Lage des Geländes. Stelle auch eine Vermutung auf, in wieweit die Nivellierung bereits gelungen ist.
Die Nivellierungsebene mit Ebenengleichungen beschreiben
Die Eckpunkte des Grundstücks sind bekannt:
- $P1(3|-1|1.25)$
- $P2(2|0|1)$
- $P3(1|0|1.25)$
- $P4(1|2|0.5)$
- $P5(0|3|0)$
- $P6(0|0|1.5)$
- $P7(-1|-1|2.25)$
- $P8(0|-1|2)$
- $P9(0|-2|2.5)$
- $P10(1|-3|2.5)$
- $P11(1|-2|2.25)$
Als Nivellierungspunkte dienen die Punkte $P2$, $P5$ und $P6$. Diese drei Punkte legen die Bezugsebene $E$ fest, in der das gesamte Grundstück nach der Nivellierung liegen soll.
Mit diesen Daten und Vorgaben lässt sich die Ebene $E$ mit Hilfe von Ebenengleichungen beschreiben.
Aufgabe 2
Begründe, dass die Ebene $E$ sich mit den beiden folgenden Ebenengleichungen beschreiben lässt.
$E: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1.5 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -0.5 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ -1.5 \end{array}\right)$ (mit $r, s \in \mathbb{R}$)
$E: \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1.5 \end{array}\right) \right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1.5 \\ 3 \\ 6 \end{array}\right) = 0$
Punktproben beim Nivellieren verwenden
Die vorgegebenen Eckpunkte des Grundstücks müssen jetzt alle daraufhin überprüft werden, ob sie in der Nivellierungsebene $E$ liegen. Da die Punkte $P2$, $P5$ und $P6$ zur Festlegung der Ebene benutzt wurden, ist eine Überprüfung dieser Punkte natürlich nicht notwendig (allenfalls zur Kontrolle der Ebenengleichungen).
Aufgabe 3
(a) Mache dir nochmal klar, wie eine Punktprobe mit einer Ebenengleichung in Parameterform durchgeführt wird. Führe sie für den Punkt $P7$ durch.
(b) Mache dir auch nochmal klar, wie eine Punktprobe mit einer Ebenengleichung in Normalenform durchgeführt wird. Führe sie ebenfalls für den Punkt $P7$ durch.
(c) Begründe, warum Punktproben mit Ebenengleichungen in Normalenform in der Regel rechentechnisch einfacher sind als Punktproben mit Ebenengleichungen in Parameterform.
Das Überprüfen von Punkten weiter vereinfachen
Punktproben mit einer vorgegebenen Ebenengleichung in Normalenform lassen sich weiter vereinfachen, indem man die Ebenengleichung umstellt.
$\left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1.5 \end{array}\right) \right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1.5 \\ 3 \\ 6 \end{array}\right) = 0$ $\Leftrightarrow$
$\left[\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1.5 \end{array}\right) \right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1.5 \\ 3 \\ 6 \end{array}\right) = 0$ $\Leftrightarrow$
$\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 - 1.5 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1.5 \\ 3 \\ 6 \end{array}\right) = 0$ $\Leftrightarrow$
$1.5 \cdot x_1 + 3 \cdot x_2 + 6 \cdot (x_3 - 1.5) = 0$ $\Leftrightarrow$
$1.5 x_1 + 3 x_2 + 6 x_3 - 9 = 0$ $\Leftrightarrow$
$1.5 x_1 + 3 x_2 + 6 x_3 = 9$
Aufgabe 4
(a) Erläutere zunächst die gezeigten Umformungsschritte.
(b) Benutze die Gleichung $1.5 x_1 + 3 x_2 + 6 x_3 = 9$, um zu überprüfen, ob alle Punkte in der Ebene $E$ liegen. Dokumentiere die Ergebnisse, z.B. so:
$P7(-1|-1|2.5)$: $1.5 \cdot (-1) + 3 \cdot (-1) + 6 \cdot 2.5 -1.5 - 3 + 13.5 = 9$ $\Rightarrow$ $P7$ liegt in $E$.
(c) Vergleiche den rechnerischen Aufwand dieser letzten Methode mit dem Aufwand, wenn man eine Punktprobe mit Hilfe einer Ebenengleichungen in Parameterform bzw. Normalenform durchführt.
(d) Benutze die Gleichung $1.5x_1 + 3x_2 + 6x_3 = 9$, um die $x_3$-Koordinate der Punkte, die nicht in $E$ liegen, so anzupassen, dass das Grundstück eben ist.
