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Zusammenfassung - Orthogonalität und Lagebeziehungen

Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen

Die Tabelle zeigt mögliche Lagebeziehungen von zwei Ebenen. Beachte, dass die Lagebeziehung "schneiden sich orthogonal" ein Spezialfall der Lagebeziehung "schneiden sich" ist.

Wir setzen voraus, dass die beiden Ebenen mit einer Ebengleichung in Normalenform gegeben sind. Also: $E_1: [\vec{x} - \vec{p_1}] \cdot \vec{n_1} = 0$ und $E_2: [\vec{x} - \vec{p_2}] \cdot \vec{n_2} = 0$.

Lagebeziehung Veranschaulichung Bedingung
die Ebenen schneiden sich schneiden sich $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$ sind linear unabhängig
die Ebenen schneiden sich orthogonal schneiden sich $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$ sind orthoginal
die Ebenen sind echt parallel schneiden sich $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$ sind linear abhängig und $P_2$ liegt nicht in $E_1$ bzw. $P_1$ liegt nicht in $E_2$
die Ebenen sind identisch schneiden sich $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$ sind linear abhängig und $P_2$ liegt in $E_1$ bzw. $P_1$ liegt in $E_2$

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen

Die Tabelle zeigt mögliche Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen. Beachte, dass die Lagebeziehung "schneiden sich orthogonal" ein Spezialfall der Lagebeziehung "schneiden sich" ist.

Wir setzen voraus, dass die Gerade mit einer Geradengleichung in Parameterform und die Ebene mit einer Ebengleichung in Normalenform gegeben ist. Also: $g: \vec{x} = \vec{q} + r \cdot \vec{u}$ und $E: [\vec{x} - \vec{p}] \cdot \vec{n} = 0$.

Lagebeziehung Veranschaulichung Bedingung
die Gerade schneidet die Ebenen schneiden sich $\vec{u}$ und $\vec{n}$ sind nicht orthogonal
die Gerade schneidet die Ebene orthogonal schneiden sich $\vec{u}$ und $\vec{n}$ sind linear abhängig
die Gerade ist echt parallel zur Ebene schneiden sich $\vec{u}$ und $\vec{n}$ sind orthogonal und $Q$ liegt nicht in $E$
die Gerade liegt in der Ebene schneiden sich $\vec{u}$ und $\vec{n}$ sind orthogonal und $Q$ liegt in $E$

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108.5.4.7
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