Strukturierung - Lagebeziehungen bei Ebenen

Lagebeziehungen mit Stützpunkten und Normalenvektoren charakterisieren

Die Tabelle zeigt mögliche Lagebeziehungen von zwei Ebenen. Beachte, dass die Lagebeziehung "schneiden sich orthogonal" ein Spezialfall der Lagebeziehung "schneiden sich" ist.

Gehe davon aus, dass die beiden Ebenen mit einer Ebengleichung in Normalenform gegeben sind. Also: $E_1: [\vec{x} - \vec{p_1}] \cdot \vec{n_1} = 0$ und $E_2: [\vec{x} - \vec{p_2}] \cdot \vec{n_2} = 0$.

Lagebeziehung	Veranschaulichung	Bedingung
die Ebenen schneiden sich
die Ebenen schneiden sich orthogonal
die Ebenen sind echt parallel
die Ebenen sind identisch

Ziel ist es, passende Bedingungen für die jeweiligen Beziehungen zu ergänzen. Bearbeite hierz erst einmal die folgenden Aufgaben. Ergänze abschließend die Bedingungen.

Aufgabe 1

Gegeben ist die Ebene $E_1$ mit einer Ebenengleichung in Normalenform:

$E_1 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = 0$

Ergänze die Lagebeziehungen der Ebenen $E_1$ und $E_2$ in der Tabelle (mit kurzer Begründung). Überprüfe mit dem Applet (siehe unten).

Ebene $E_2$	Lagebeziehung von $E_1$ und $E_2$	Begründung
(a) $E_2 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) = 0$	Ebenen sind parallel	$\vec{n_2} = 2\vec{n_1}$; $\vec{n_2}$ und $\vec{n_1}$ sind also parallel; $P_2$ liegt nicht in $E_1$ (überprüft mit einer Punktprobe)
(b) $E_2 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) = 0$
(c) $E_2 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 4 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) = 0$
(d) $E_2 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right) = 0$
(e) $E_2 : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = 0$

Applet:

Zum Herunterladen: ebene_ebene2.ggb

Aufgabe 2

Ergänze passende Bedingungen in der Tabelle oben. Fasse dir die Ergebnisse in diesem Wissensspeicher zusammen.