Zusammenfassung - Normalendarstellung von Ebenen und Geraden
Die Grundidee
Die Lage einer Ebene im 3D-Raum lässt sich mit Hilfe von zwei Vektoren eindeutig festlegen:
- mit einem Stützvektor, der zu einem Punkt der Ebene führt und
- mit einem Normalenvektor, der orthogonal zur Ebene ist.
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Im Applet kannst du die zugehörigen Punkte bewegen und damit die Lage der Ebene festlegen.
Die Mathematisierung
Mit dem Skalarprodukt lässt sich dann direkt überprüfen, ob ein beliebiger Punkt in einer mit Stütz- und Normalenvektor festgelegten Ebene liegt.
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Das Applet verdeutlicht folgenden zentralen Zusammenhang:
Satz:
Für eine Ebene $E$, die mit einem Stützvektor $\vec{p}$ und einem Normalenvektor $\vec{n}$ festgelegt ist, gilt:
Ein Punkt $X$ mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ liegt in der Ebene $E$ genau dann, wenn $(\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$ gilt.
Eine Ebene $E$ lässt sich infolgedessen mit einer Gleichung der Gestalt $E: (\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$ beschreiben. Man nennt eine solche Gleichung Ebenengleichung in Normalenform.
Beispiel:
$E : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) = 0$
Die Ebene $E$ wird hier mit dem Stützvektor $\vec{p} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)$ und dem Normalenvektor $\vec{n} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)$ beschrieben.
Um zu überprüfen, ob ein Punkt wie z.B. $A(2|2|1)$ bzw. $B(4|3|1)$ in der Ebene $E$ liegt, setzt man den entsprechenden Ortsvektor in die Ebenengleichung ein und überprüft, ob die entstehende Bedingung erfüllt ist.
$A$: $\left[ \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) = 0 + 2 - 2 = 0$ $\Rightarrow$ $A$ liegt in $E$
$B$: $\left[ \left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) = 0 + 3 - 2 = 1$ $\Rightarrow$ $B$ liegt nicht in $E$
Der 2D-Fall
Der 2D-Fall kann völlig analog zum 3D-Fall behandelt werden.
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Mit einem Stütz- und einem Normalenvektor wird im 2D-Fall eine Gerade beschrieben.
Satz:
Für eine 2D-Gerade $g$, die mit einem Stützvektor $\vec{p}$ und einem Normalenvektor $\vec{n}$ festgelegt ist, gilt:
Ein Punkt $X$ mit dem Ortsvektor $\vec{x}$ liegt auf der Geraden $g$ genau dann, wenn $(\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$ gilt.
Eine 2D-Gerade $g$ lässt sich infolgedessen mit einer Gleichung der Gestalt $g: (\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$ beschreiben. Man nennt eine solche Gleichung Geradengleichung in Normalenform.
Beispiel:
$g : \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) = 0$
Um zu überprüfen, ob ein Punkt wie z.B. $A(-1|4)$ bzw. $B(4|1)$ auf der Geraden $g$ liegt, setzt man den entsprechenden Ortsvektor in die Geradengleichung ein und überprüft, ob die entstehende Bedingung erfüllt ist.
$A$: $\left[ \left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) = -4 + 4 = 0$ $\Rightarrow$ $A$ liegt auf $g$
$B$: $\left[ \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}\right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) = 1 - 2 = -1$ $\Rightarrow$ $B$ liegt nicht auf $g$
Beachte, dass Gerden im 3D-Raum nicht durch Gleichungen in Normalenform beschrieben werden können.
