Vertiefung
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt wurde die Ausbreitung des Gerüchts mit Funktionen beschrieben. In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse noch einmal vertiefend gedeutet.
Die Funktionen zur Gerüchtausbreitung benutzen
Hier noch einmal die Daten zur Gerüchtausbreitung.
|
$t$ Stunden nach der Andeutung des Trainers |
$B(t)$: Bestand Anzahl der Fans, die das Gerücht kennen |
$D(t)$: Differenzbestand Anzahl der Fans, die das Gerücht noch nicht kennen |
|---|---|---|
| $0$ | $400$ | $5600$ |
| $1$ | $1460$ | $4540 \approx 5600 \cdot 0.81$ |
| $2$ | $2320$ | $3680 \approx 4540 \cdot 0.81$ |
| $3$ | $3020$ | $2980 \approx 3680 \cdot 0.81$ |
Die Gerüchtausbreitung lässt sich näherungsweise mit folgenden Funktionen beschreiben.
-
$D(t) = 5600 \cdot 0.81^t \approx 5600 \cdot e^{-0.21 t}$
Die Funktion $R$ beschreibt die Entwicklung des Differenzbestandes. Man nennt diesen Differenzbestand auch Sättigungsmanquo (das, was noch zur Sättigung fehlt
). -
$B(t) = 6000 - D(t) = 6000 - 5600 \cdot 0.81^t \approx 6000 - 5600 \cdot e^{-0.21 t}$
Die Funktion $B$ beschreibt die Entwicklung des Bestandes.
Die folgende Grafik zeigt die Funktionsgraphen der beiden Funktionen $B$ und $R$.
Zum Herunterladen: geruecht2.ggb
Aufgabe 1
Begründe.
- Es gilt $B(t) = G - D(t)$, wobei $G = 6000$ die obere Grenze beschreibt.
- Die Differenzfunktion $D$ nähert sich exponentiell dem Wert $0$ an.
- Die Bestandsfunktion $B$ nähert sich immer mehr der Grenze $G = 6000$ an. Die Abweichung des Bestandes von der Grenze nimmt dabei exponentiell ab.
Aufgabe 2
Bestimme den Zeitpunkt $t$, an dem $90\%$ aller Mitglieder des Fanclubs das Gerücht kennen.
