Erarbeitung
Zur Orientierung
Wir gehen von den Daten zur Populationsentwicklung aus dem letzten Abschnitt aus. Ziel ist es, die Populationsentwicklung mit einer Funktion zu beschreiben.
Die Populationsentwicklung phasenweise mit Funktionen beschreiben
Die Populationsentwicklung lässt sich in Phasen einteilen:
- Expansionsphase: Die Population wächst sehr stark. Es liegt annähernd exponentielles Wachstum vor.
- Übergangsphase: Die Wachstumsdynamik nimmt ab, die Population wächst nahezu linear an.
- Sättigungsphase: Die Population nähert sich einer Wachstumsgrenze. Es liegt annähernd begrenztes Wachstum vor.
Zum Herunterladen: logistisch4.ggb
Aufgabe 1
Im Applet wird die Expansionsphase mit einer Funktion $g$ und die Sättigungsphase mit einer Funktion $h$ näherungsweise modelliert. Die Funktionsgleichung zu den Funktionen $g$ und $h$ werden mit den drei Prametern $G$, $k$ und $c$ beschrieben. Teste, wie sich eine Variation der Parameter auf die Graphen von $g$ und $h$ auswirken. Kläre dann folgende Fragen:
- Was steuert der Parameter $G$? Warum sollte man $G \approx 100$ einstellen?
- Was steuert der Parameter $k$? Warum ist $k \approx 0.6$ eine gute Wahl?
- Warum sollte man $c$ so einstellen, dass $\frac{G}{c} \approx 2$ gilt?
Die Populationsentwicklung mit Differentialgleichungen beschreiben
Das Wachstum in der Expansions- und Sättigungsphase lässt sich näherungsweise mit Differentialgleichungen charakterisieren.
| Expansionsphase | Sättigungsphase |
|---|---|
|
Die Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{G}{c} \cdot e^{k \cdot x}$ zur Beschreibung der Populationsentwicklung
in der Expansionsphase erfüllt die Differentialgleichung zum exponentiellen Wachstum: $y'(x) = k \cdot y(x)$ |
Die Funktion $h$ mit $h(x) = G - G \cdot c \cdot e^{-k \cdot x}$ zur Beschreibung der Populationsentwicklung
in der Sättigungsphase erfüllt die Differentialgleichung zum begrenzten Wachstum: $y'(x) = k \cdot (G - y(x))$ |
Ziel ist es jetzt, den gesamten Wachstumsprozess mit einer Differentialgleichung zu charakterisieren. Wir kombinieren hierzu die Differentialgleichungen zum exponentiellen Wachstum in der Expansionsphase mit der Differentialgleichung zum begrenten Wachstum in der Sättigungsphase. Betrachte hierzu die folgende Differentialgleichung zum logistischen Wachstum:
$y'(x) = \frac{k}{G} \cdot y(x) \cdot (G - y(x))$
Aufgabe 2
Erläutere in eigenen Worten die folgenden Überlegungen.
| Expansionsphase | Sättigungsphase |
|---|---|
|
In der Expansionsphase ist die Populationsgröße noch sehr gering im Vergleich zur Wachstumsgrenze $G$.
In der Expansionsphase gilt also $G - y(x) \approx G$.
In dieser Phase kann man die DGL zum logistischen Wachstum in die DGL zum exponentiellen Wachstum vereinfachend überführen. $\begin{array}{lcl} y'(x) & = & \frac{k}{G} \cdot y(x) \cdot (G - y(x)) \\ & \approx & \frac{k}{G} \cdot y(x) \cdot G \\ & = & k \cdot y(x) \end{array}$ |
In der Sättigungsphase hat die Populationsgröße die Wachstumsgrenze $G$ fast erreicht.
In der Sättigungsphase gilt also $y(x) \approx G$ bzw. $\frac{y(x)}{G} \approx 1$.
In dieser Phase kann man die DGL zum logistischen Wachstum in die DGL zum begrenzten Wachstum vereinfachend überführen. $\begin{array}{lcl} y'(x) & = & \frac{k}{G} \cdot y(x) \cdot (G - y(x)) \\ & = & k \cdot \frac{y(x)}{G} \cdot (G - y(x)) \\ & \approx & k \cdot 1 \cdot (G - y(x)) \\ & = & k \cdot (G - y(x)) \end{array}$ |
Die logistische DGL $y'(x) = \frac{k}{G} \cdot y(x) \cdot (G - y(x))$ beschreibt somit annähernd exponentielles Wachstum in der Expansionsphase und begrenztes Wachstum in der Sättigungsphase.
Die gesamte Populationsentwicklung mit einer Funktion beschreiben
Zur Beschreibung der Populationsentwicklung in allen Phasen suchen wir eine Lösung der Differentialgleichung zum logistischen Wachstum:
$y'(x) = \frac{k}{G} \cdot y(x) \cdot (G - y(x))$
Betrachte hierzu eine logistische Funktion mit folgender Funktionsgleichung:
$\displaystyle{f(x) = \frac{G}{1+c\cdot e^{-k \cdot x}}}$
Die Parameter $G$, $k$ und $c$ stehen dabei für positive reelle Zahlen.
Aufgabe 3
Zeige, dass die logistische Funktion die Differentialgleichung zum logistischen Wachstum erfüllt. Bearbeite hierzu folgende Teilaufgaben.
(a) Bestimme die Ableitungsfunktion zur logistischen Funktion mit den bekannten Ableitungsregeln.
$f'(x) = \dots$
(b) Setze den Funktionsterm der logistischen Funktion ein und vereinfache.
$\frac{k}{G} \cdot f(x) \cdot (G - f(x)) = \dots$
(c) Zeige durch Umformen, dass die Terme in (a) und (b) äquivalent sind.
Aufgabe 4
Nutze zur Kontrolle das folgende Applet. Stelle die Parameter $G$, $k$ und $c$ passend ein.
- Warumm sollte man $G \approx 100$ einstellen?
- Warum ist $k \approx 0.6$ eine gute Wahl?
- Warum sollte man $c$ so einstellen, dass $\frac{G}{1+c} \approx 2$ gilt?
Zum Herunterladen: logistisch5.ggb
