ZUsammenfassung – Begrenztes Wachstum
Wachstum mit einer Grenze
Es gibt zahlreiche Wachstum- und Abnahmeprozesse, die mit folgenden Annahmen modelliert werden können:
- Der Bestand $B(t)$ nähert sich einer Grenze $G$.
- Die Annäherung erfolgt von einem Startwert $B_0$ aus so, dass die Abweichung des Bestandes von der Grenze exponentiell abnimmt.
| Modellierung einer Gerüchtausbreitung | Modellierung eines Abkühlungsprozesses |
|---|---|
 |
 |
|
|
Begrenztes Wachstum
Die Funktion $B$ beschreibe das Wachstum (bzw. die Abnahme) eines Bestandes. Es liegt ein begrenztes Wachstum mit einer Grenze $G$ vor, wenn die Abweichung des Bestandes von der Grenze exponentiell abnimmt.
Funktionen zur Beschreibung von begrenztem Wachstum
Wenn man die Wachstumskonstande $k$ der exponentiell abnehmenden Abweichung $D(t)$ kennt, dann kann man direkt Funktionsgleichungen für die Differenzfunktion $D(t)$ und die Bestandsfunktion $B(t)$ angeben.
| Modellierung einer Gerüchtausbreitung | Modellierung eines Abkühlungsprozesses |
|---|---|
 |
 |
| Grenze: $G = 6000$ | Grenze: $G = 20$ |
| Ausgangsbestand: $B_0 = B(0) = 400$ | Ausgangsbestand: $B_0 = B(0) = 90$ |
|
$D(t) = G - B(t)$: exponentielle Abnahme mit der Wachstumskonstante (bzw. Annäherungsrate) $k = 0.21$ |
$D(t) = B(t) - G$: exponentielle Abnahme mit der Wachstumskonstante (bzw. Annäherungsrate) $k = 0.1$ |
| $D(t) = \underbrace{5600}_{G-B_0} \cdot \underbrace{e^{- 0.21 t}}_{\text{exp. Abnahme}}$ | $D(t) = \underbrace{70}_{B_0-G} \cdot \underbrace{e^{- 0.1 t}}_{\text{exp. Abnahme}}$ |
|
$B(t) = \underbrace{6000}_{G} - \underbrace{5600}_{G-B_0} \cdot \underbrace{e^{- 0.21 t}}_{\text{exp. Abnahme}}$ $B(t) = \underbrace{6000}_{G} + \underbrace{(-5600)}_{B_0-G} \cdot \underbrace{e^{- 0.21 t}}_{\text{exp. Abnahme}}$ |
$B(t) = \underbrace{20}_{G} + \underbrace{70}_{B_0-G} \cdot \underbrace{e^{- 0.1 t}}_{\text{exp. Abnahme}}$ $B(t) = \underbrace{20}_{G} - \underbrace{(-70)}_{G-B_0} \cdot \underbrace{e^{- 0.1 t}}_{\text{exp. Abnahme}}$ |
Beschreibung eines begrenzten Wachstums
Wenn die Funktion $B$ ein begrenztes Wachstum mit der Grenze $G$ beschreibt, dann gibt es eine Wachstumskonstante bzw. Annäherungsrate $k$, so dass man mit $B_0 = B(0)$ die Bestandsentwicklung $B(t)$ so beschreiben kann:
$B(t) = G + (B_0-G) \cdot e^{-kt}$ bzw. $B(t) = G - (G-B_0) \cdot e^{-kt}$
Differentialgleichung zur Beschreibung von begrenztem Wachstum
Betrachte ein begrenztes Wachstum mit $B(t) = G + (B_0-G) \cdot e^{-kt}$. Für die Ableitung $B'(t)$ erhält man:
$B'(t) = (B_0 - G) \cdot e^{-k t} \cdot (-k) = -k \cdot (B_0 - G) \cdot e^{-k t}$
Für die (positive oder negative) Abweichung des Bestandes $B(t)$ zur Grenze $G$ erhält man:
$G - B(t) = G - (G + (B_0 - G) \cdot e^{-k t}) = - (B_0 - G) \cdot e^{-k t}$
Es gilt also:
$B'(t) = k \cdot (G - B(t))$
Der Zusammenhang $B'(t) = k \cdot (G - B(t))$ besagt, dass die momentane Änderung des Bestandes zur zur momentanen Abweichung des Bestandes von der Grenze proportional ist.
Beachte: In der Gleichung $B'(t) = k \cdot (G - B(t))$ wird (mit Hilfe der Konstanten $k$ und $G$) ein Zusammenhang zwischen der Funktion $B$ und ihrer Ableitungsfunktion $B'$ hergestellt. Eine solche Gleichung ist eine Differentialgleichung.
Differentialgleichung zum begrenzten Wachstums
Wenn die Funktion $B$ mit $B(t) = G + (B_0-G) \cdot e^{-kt}$ bzw. $B(t) = G - (G-B_0) \cdot e^{-kt}$ ein begrenztes Wachstum beschreibt, dann erhält man für die momentane Änderung des Bestandes die folgende Differentialgleichung:
$B'(t) = k \cdot (G - B(t))$
Die momentane Änderung des Bestandes ist also proportional zur momentanen Abweichung des Bestandes von der Grenze.
