Differentialgleichung
Zur Orientierung
In den letzten Abschnitten wurden mehrere Möglichkeiten zur Charakterisierung exponentieller Prozesse betrachtet (Wachstumsfaktor; prozentuale Wachstumsrate; Verdopplungs- bzw. Halbwertszeit). In diesem Abschnitt betrachten wir eine weitere Charakterisierungsmöglichkeit.
Wachstumsgeschwindigkeiten beim exponentiellen Wachstum
Betrachte einen exponentiellen Wachstumsprozess, der mit der Funktion $f(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$ beschrieben wird. Im Applet wird ein solcher Prozess dargestellt. Bearbeite die Aufgaben unter dem Applet.
Zum Herunterladen: wachstumsgeschwindigkeit1.ggb
Aufgabe 1
Deute zunächst die im Applet vorgegebene Funktionsgleichung $f(x) = 2 \cdot e^{0.15 \cdot x}$ im Kontext Populationentwicklung
.
- Die Population besteht zu Beginn aus ... Anzahleinheiten (z.B. Millionen) Individuen.
- Die Population wächst mit der Wachstumskonstanten .... In jeder Zeiteinheit wächst die Population um $p = \dots \%$.
Aufgabe 2
(a) Momentane Wachstumsgeschwindigkeiten einer Populationentwicklung erhält man mit Hilfe der Ableitung $f'(x)$. Zeige, dass für die im Applet vorgegebene Funktion folgender Zusammenhang besteht:
$f'(x) = 0.15 \cdot f(x)$
(b) Man kann den Zusammenhang so deuten: Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit $f'(x)$ ist proportional zum aktuellen Bestand $f(x)$. Erläutere diese Deutung anhand des Applets mit Hilfe konkreter Zahlenwerte.
Aufgabe 3
Für eine andere Population wurden folgende Daten ermittelt:
- Die Population besteht zu Beginn aus $1.5$ Anzahleinheiten (z.B. Millionen) Individuen.
- Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit $f'(x)$ ist proportional zum aktuellen Populationsbestand $f(x)$. Die gilt $f'(x) = 0.08 \cdot f(x)$.
Beschreibe die Populationsentwicklung mit einer Funktion. Kontrolliere das Ergebnis im Applet oben.
Differentialgleichungen
Eine Differentialgleichung (kurz: DGL) ist eine Gleichung für eine gesuchte Funktion. In der Gleichung wird eine fundamentale Eigenschaft der gesuchten Funktion beschrieben. Bei der Beschreibung werden auch die Ableitungen der Funktion benutzt.
Beispiel: Differentialgleichung
Gesucht sind Funktionen $f$, die folgende Differentialgleichung erfüllt:
$f' = 2 \cdot f$
Aufgabe 4
Zeige, dass jede Funktion $f$ mit $f(x) = a \cdot e^{2x}$ eine Lösung der Differentialgleichung $f' = 2f$ ist.
Aufgabe 5
Erläutere mit den Überlegungen oben den folgenden Satz.
Differentialgleichung zum exponentiellen Wachstum
Eine Funktion zur Beschreibung eines exponentiellen Prozess erfüllt die Differentialgleichung $f' = k \cdot f$ mit einer positiven reellen Zahl $k$, die ungleich $1$ ist.
