Zusammenfassung – Exponentielles Wachstum
Charakterisierung von exponentiellem Wachstum – Beispiele
Die folgende Übersicht verdeutlicht anhand von Beispielen, wie man exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse beschreiben kann.
| Beispiel – exponentielles Wachstum | Beispiel – exponentieller Zerfall |
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Funktionsgleichungen: $f(x) = 5 \cdot 1.08^x = 5 \cdot e^{\ln(1.08)\cdot x} \approx 5 \cdot e^{0.077 \cdot x}$ |
Funktionsgleichungen: $f(x) = 5 \cdot 0.92^x = 5 \cdot e^{\ln(0.92)\cdot x} \approx 5 \cdot e^{-0.083 \cdot x}$ |
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Anfangsbestand: $a = 5$ Wachstumsfaktor: $b = 1.08$ prozentuale Wachstumsrate: $p\% = 8\%$ Wachstumskonstante: $k = \ln(1.08) \approx 0.077$ |
Anfangsbestand: $a = 5$ Wachstumsfaktor: $b = 0.92$ prozentuale Wachstumsrate: $p\% = -8\%$ Wachstumskonstante: $k = \ln(0.92) \approx -0.083$ |
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Anfangsbestand: $a = 5$ Verdopplungszeit: $t_D = \frac{\ln(2)}{k} \approx 9.0$ |
Anfangsbestand: $a = 5$ Halbwertszeit: $t_H = \frac{\ln(0.5)}{k} \approx 8.3$ |
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Anfangsbestand: $a = 5$ Differentialgleichung: $f' = \underbrace{0.077}_{k} \cdot f$ |
Anfangsbestand: $a = 5$ Differentialgleichung: $f' = \underbrace{-0.083}_{k} \cdot f$ |
Charakterisierung von exponentiellem Wachstum – Verallgemeinerung
Exponentieller Prozess
Eine Zuordnung, die jedem x-Wert (aus einer Ausgangsmenge) einen Bestandswert zuordnet, beschreibt einen exponentiellen Prozess genau dann, wenn sie folgende Grundeigenschaft hat: Zur gleichen Schrittweite gehört immer der gleiche Wachstumsfaktor.
Ist der Wachstumsfaktor größer als $1$, so liegt exponentielles Wachstum vor. Liegt der Wachstumsfaktor zwischen $0$ und $1$, so liegt exponentieller Zerfall vor.
Prozentuales Wachstum
Ein prozentualer Wachstumsprozess mit der prozentualen Wachstumsrate von $p \%$ (für eine vorgegebene Schrittweite) ist ein exponentieller Wachstumsprozess mit dem Wachstumsfaktor $1 + \frac{p}{100}$ (zur vorgegebenen Schrittweite).
Ein prozentualer Abnahmeprozess mit der prozentualen Wachstumsrate von $-p \%$ (für eine vorgegebene Schrittweite) ist ein exponentieller Zerfallsprozess mit dem Wachstumsfaktor $1 - \frac{p}{100}$ (zur vorgegebenen Schrittweite).
Beschreibung exponentieller Prozesse Funktionen
Betrachte einen exponentiellen Prozess mit dem Anfangswert $a$ (das ist eine beliebige reelle Zahl) und dem Wachstumsfaktor $b$ (das ist eine beliebige positive reelle Zahl ungleich $1$). Ein solcher exponentieller Prozess lässt sich mit einer Exponentialfunktion der folgenden Gestalt beschreiben.
$f(x) = a \cdot b^x$ (wobei $x$ eine beliebige reelle Zahl sein kann)
Man kann einen solchen Prozess auch mit einer e-Funktion (mit Parametern) beschreiben:
$f(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$ mit $k = \ln(b)$.
Verdopplungszeit bei exponentiellem Wachstum
Für die Verdopplungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses, der mit der Funktion $f(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$ beschrieben wird, gilt folgender Zusammenhang.
$t_D = \frac{\ln(2)}{k}$
Halbwertszeit bei exponentiellem Zerfall
Für die Halbwertszeit eines exponentiellen Zerfallssprozesses, der mit der Funktion $f(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$ beschrieben wird, gilt folgender Zusammenhang.
$t_H = \frac{\ln(1/2)}{k}$
Differentialgleichung zum exponentiellen Wachstum
Eine Funktion zur Beschreibung eines exponentiellen Prozess erfüllt die Differentialgleichung $f' = k \cdot f$ (mit einer positiven reellen Zahl $k$, die ungleich $1$ ist).
