Vertiefung
Zur Orientierung
Wir untersuchen hier die im letzten Abschnitt eingeführten logistischen Funktionen genauer.
Logistische Funktionen untersuchen
Wir fassen zunächst die Ergebnisse aus dem letzten Abschnitt zusammen.
Logistisches Wachstum
Die Funktion $f$ beschreibe das Wachstum eines Bestandes. Es liegt ein logistisches Wachstum mit einer Grenze $G$ und dem Wachstumsfaktor $k$ vor, wenn die Funktion $f$ die folgende logistische Differentialgleichung erfüllt:
$y'(x) = \frac{k}{G} \cdot y(x) \cdot (G - y(x))$
Phasen eines logistischen Wachstums
Wenn die Funktion $f$ ein logistisches Wachstum mit der Grenze $G$ und dem Wachstumsfaktor $k$ beschreibt, dann gilt:
In einer Expansionsphase liegt annähernd ein exponentielles Wachstum mit der Wachstumskonstanten $k$ vor.
In einer Sättigungsphase liegt ein begrenztes Wachstum mit der Grenze $G$ und der Wachstumskonstanten $k$ vor.
Logistische Funktionen
Betrachte eine Funktion $f$ mit folgender Funktionsgleichung:
$\displaystyle{f(x) = \frac{G}{1+c\cdot e^{-k \cdot x}}}$
Die Parameter $G$, $k$ und $c$ stehen hier für positive reelle Zahlen. Man nennt solche Funktionen auch logistische Funktionen.
Jede logistische Funktion ist eine Lösung der logistischen Differentialgleichung $y'(x) = \frac{k}{G} \cdot y(x) \cdot (G - y(x))$.
Wenn $f(0) = a$ vorgegeben ist, dann wählt man $c$ so, dass $a = \frac{G}{1+c}$ gilt.
Die Graphen von logischen Funktionen haben eine typische $S$-Form.
Zum Herunterladen: logistisch6.ggb
Aufgabe 1
Betrachte eine logistische Funktion $f$ mit $\displaystyle{f(x) = \frac{G}{1+c\cdot e^{-k \cdot x}}}$, bei der die Parameter $G$, $k$ und $c$ alle positive reelle Zahlen sind.
(a) Begründe, dass $0 \lt f(x) \lt G$ gilt.
(b) Begründe, dass $f'(x) \gt 0$ gilt. Benutze beim Begründen die DGL zum logistischen Wachstum und das Ergebnis aus Aufgabenteil (a).
(c) Begründe, dass $f''(x) = 0$ genau dann gilt, wenn $f(x) = \frac{G}{2}$ gilt. Benutze beim Begründen die DGL zum logistischen Wachstum und das Ergebnis aus Aufgabenteil (b).
(d) Bestimme $x_W$ mit $f(x_W) = \frac{G}{2}$. Erläutere die Bedeutung des Punktes $(x_W|\frac{G}{2})$ auf Graph $f$.
