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Verdopplungs- und Halbwertszeit

Zur Orientierung

Im letzten Abschnitt wurde die Ausbreitung des Gerüchts mit Funktionen beschrieben. In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse noch einmal vertiefend gedeutet.

Eine Verdopplungszeit bestimmen

Betrachte die Geldvermehrung als Beispiel für einen exponentiellen Wachstumsprozess.

Beispiel: Geldvermehrung

Du hast 800 € zu einem Zinssatz von $3 \%$ angelegt. Wie lang dauert es, bis sich der angelegte Geldbetrag verdoppelt hat?

Aufgabe 1

(a) Mit dem Applet kannst du die gesuchte Verdopplungszeit im Beispiel Geldvermehrung experimentell bestimmen.

Zum Herunterladen: exponentielleprozesse2.ggb

(b) Die Verdopplungszeit $t_D$ eines exponentiellen Wachstumsprozesses erfüllt die Bedingung $f(t_D) = 2 \cdot f(0)$. Mit dieser Bedingung lässt sich eine Formel für die Verdopplungszeit herleiten. Mache dich nochmal mit der Herleitung vertraut. Die Herleitung setzt voraus, dass der exponentielle Wachstumsprozess mit der Funktion $f(t) = a e^{k \cdot t}$ beschrieben wird.

$\begin{array}{lrllll} f(t_D) & = & 2 \cdot f(0) \\ a \cdot e^{k \cdot t_D} & = & 2a & | & :a & (a \neq 0) \\ e^{k \cdot t_D} & = & 2 & | & \ln \\ k \cdot t_D & = & \ln(2) & | & :k & (k \neq 0) \\ t_D & = & \frac{\ln(2)}{k} \end{array}$

(c) Benutze die Formel, um die Verdopplungszeit im Beispiel Geldvermehrung zu bestimmen. Gib zur Kontrolle im Applet erst die Funktionsgleichung zur Beschreibung des Prozesses ein. Nutze dann die Verdopplungszeit als Schrittweite und einen passenden Wachstumsfaktor und simuliere den Prozess.

Verdopplungszeit bei exponentiellem Wachstum

Für die Verdopplungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses, der mit der Funktion $f(t) = a e^{k \cdot t}$ beschrieben wird, gilt folgender Zusammenhang.

$t_D = \frac{\ln(2)}{k}$

Eine Halbwertszeit bestimmen

Betrachte einen radioaktiven Zerfall als Beispiel für einen exponentiellen Zerfallsprozess.

Beispiel: Radioaktiver Zerfall

Caesium-137 hat eine Halbwertszeit von ca. 30 Jahren. Gehe davon aus, dass bei Explosion des Reaktorkerns 1986 in Tschernobyl eine bestimmte Menge an Caesium-137 in ein Waldstück transportiert wurde. Zu diesem Zeitpunkt betrug der Anteil der strahlenden Caesium-Atome $100 \%$. Mit welcher Zerfallskonstante $k$ kann man den Zerfallsprozess beschreiben?

Aufgabe 2

Der radioaktive Zerfall wird hier mit der Halbwertszeit charakterisiert.

(a) Die Halbwertszeit $t_H$ erfüllt die Bedingung $f(t_H) = \frac{1}{2} \cdot f(0)$. Mit dieser Bedingung lässt sich eine Formel für die Halbwertszeit herleiten. Mache dich nochmal mit der Herleitung vertraut. Die Herleitung setzt voraus, dass der exponentielle Zerfallsprozess mit der Funktion $f(t) = a e^{k \cdot t}$ beschrieben wird.

$\begin{array}{lrllll} f(t_H) & = & \frac{1}{2} \cdot f(0) \\ a \cdot e^{k \cdot t_H} & = & \frac{a}{2} & | & :a & (a \neq 0) \\ e^{k \cdot t_H} & = & \frac{1}{2} & | & \ln \\ k \cdot t_H & = & \ln(1/2) & | & :k & (k \neq 0) \\ t_H & = & \frac{\ln(1/2)}{k} \end{array}$

(b) Benutze die Formel, um im Beispiel Radiaktiver Zerfall aus der vorgegebenen Verdopplungszeit die Zerfallskonstante $k$ zu bestimmen.

Halbwertszeit bei exponentiellem Zerfall

Für die Halbwertszeit eines exponentiellen Zerfallssprozesses, der mit der Funktion $f(t) = a \cdot e^{k \cdot t}$ beschrieben wird, gilt folgender Zusammenhang.

$t_H = \frac{\ln(1/2)}{k}$

(c) Gib zur Kontrolle im Applet erst die Funktionsgleichung zur Beschreibung des Prozesses ein. Nutze dann die Halbwertszeit als Schrittweite und einen passenden Wachstumsfaktor und simuliere den Prozess.