Erarbeitung

Einen Abkühlungsprozess mit Funktionen modellieren

Die Tabelle zeigt noch einmal die Daten zum Abkühlungsprozess. Zusätzlich sind bereits erste Zusammenhänge in den Daten dargestellt.

$t$ Minuten nach dem Messbeginn	$B(t)$: Bestand Temperatur des Getränkes in °C	$D(t)$: Differenzbestand Differenz zur Umgebungstemperatur von 20°C
$0$	$90$	$70 $
$5$	$62.5$	$42.5 \approx 70 \cdot (0.905)^5$
$10$	$45.8$	$25.8 \approx 42.5 \cdot (0.905)^5$
$15$	$36.6$	$16.6 \approx 25.8 \cdot (0.905)^5$
$20$	$29.5$	$9.5 \approx 16.6 \cdot (0.905)^5$

Die folgende Grafik verdeutlich diese Messadaten.

Zum Herunterladen: abkuehlung1.ggb

Aufgabe 1

(a) Deute die Daten zur Temperaturentwicklung. Warum nimmt die Differenztemperatur exponentiell ab?

(b) Welche Differenztemperatur und welche Temperatur erwartest du nach $30$ Minuten? Begründe deine Ergebnisse.

(c) Begründe, dass man die erwartete Differenztemperatur nach $30$ Minuten so berechnen kann: $D(30) = 70 \cdot (0.905)^{30}$.

(d) Beschreibe die Funktionen $D(t)$ und $B(t)$ mit geeigneten Funktionsgleichungen.

Kontrolle

(a)
Zur gleichen Schrittweite $5$ gehört immer der gleiche Wachstumsfaktor $(0.905)^5$.

(b)
Wenn die Abkühlung mit der gleichen Gesetzmäßigkeit weiter verläuft, dann erhält man nach $30$ Minuten eine Differenztemperatur $9.5 \cdot (0.905)^5 \cdot (0.905)^5 \approx 3,5$ und somit eine Temperatur $23,5$ (Angaben jeweils in °C).

(c)
$D(30) = 70 \cdot (0.905)^5 \cdot (0.905)^5 \cdot (0.905)^5 \cdot (0.905)^5 \cdot (0.905)^5 = 70 \cdot (0.905)^{30}$

(d)

$D(t) = 70 \cdot 0.905^t \approx 70 \cdot e^{-0.1 t}$

$B(t) = 20 + D(t) = 20 + 70 \cdot 0.905^t \approx 20 + 70 \cdot e^{-0.1 t}$