Vertiefung
Zur Orientierung
Im letzten Abschnitt wurde die Abkühlung eines Heißgetränks mit Funktionen beschrieben. In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse noch einmal vertiefend gedeutet.
Die Funktionen zum Abkühlungsprozess benutzen
Hier noch einmal die Daten zum Abkühlungsprozess.
|
$t$ Minuten nach dem Messbeginn |
$B(t)$: Bestand Temperatur des Getränkes in °C |
$D(t)$: Differenzbestand Differenz zur Umgebungstemperatur von 20°C |
|---|---|---|
| $0$ | $90$ | $70$ |
| $5$ | $62.5$ | $42.5 \approx 70 \cdot (0.905)^5$ |
| $10$ | $45.8$ | $25.8 \approx 42.5 \cdot (0.905)^5$ |
| $15$ | $36.6$ | $16.6 \approx 25.8 \cdot (0.905)^5$ |
| $20$ | $29.5$ | $9.5 \approx 16.6 \cdot (0.905)^5$ |
Der Abkühlungsprozess lässt sich näherungsweise mit folgenden Funktionen beschreiben.
-
$D(t) = 70 \cdot (0.905)^t \approx 70 \cdot e^{-0.1 t}$
Die Funktion $D$ beschreibt die Entwicklung der Differenz zur Umgebungstemperatur. -
$B(t) = 20 + D(t) = 20 + 70 \cdot (0.905)^t \approx 20 + 70 \cdot e^{-0.1 t}$
Die Funktion $B$ beschreibt die Temperaturentwicklung bzw. die Entwicklung des Bestandes.
Die folgende Grafik zeigt die Funktionsgraphen der beiden Funktionen $B$ und $D$.
Zum Herunterladen: abkuehlung2.ggb
Aufgabe 1
Begründe.
- Es gilt $B(t) = G + D(t)$, wobei $G = 20$ die Umgebungstemperatur als untere Grenze beschreibt.
- Die Differenzfunktion $D$ nähert sich exponentiell dem Wert $0$ an.
- Die Bestandsfunktion $B$ nähert sich immer mehr der Grenze $G = 20$ an. Die Abweichung des Bestandes von der Grenze nimmt dabei exponentiell ab.
Aufgabe 2
Bestimme den Zeitpunkt $t$, an dem das Getränk eine Temperatur von $25°C$ hat.
