Zusammenfassung – Logistisches Wachstum
Eine Kombination aus exponentiellem und begrenztem Wachstum
Viele Wachstumsprozesse kann man in drei Phasen einteilen:
- Expansionsphase: Der Bestand wächst sehr stark. Es liegt annähernd exponentielles Wachstum vor.
- Übergangsphase: Die Wachstumsdynamik nimmt ab, der Bestand wächst nahezu linear an.
- Sättigungsphase: Die Bestandsentwicklung nähert sich einer Wachstumsgrenze. Es liegt annähernd begrenztes Wachstum vor.
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Im Applet wird die Expansionsphase mit einer Funktion $g$ und die Sättigungsphase mit einer Funktion $h$ näherungsweise modelliert. Die Funktionsgleichung zu den Funktionen $g$ und $h$ werden mit den drei Prametern $G$, $k$ und $c$ beschrieben.
- Der Parameter $G$ beschreibt die Wachstumsgrenze.
- Den Parameter $k$ beschreibt die Wachstumskonstante des exponentiellen und begrenzten Wachstums.
- Mit dem Parameter $c$ kann man den Anfangsbestand berücksichtigen. Man stellt ihn hier so ein, dass $\frac{G}{c} \approx g(0)$ gilt.
Beschreibung der Bestandsentwicklung mit Differentialgleichungen
Das Wachstum in der Expansions- und Sättigungsphase lässt sich näherungsweise mit Differentialgleichungen charakterisieren.
| Expansionsphase | Sättigungsphase |
|---|---|
|
Die Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{G}{c} \cdot e^{k \cdot x}$ zur Beschreibung der Bestandsentwicklung
in der Expansionsphase erfüllt die Differentialgleichung zum exponentiellen Wachstum: $y'(x) = k \cdot y(x)$ |
Die Funktion $h$ mit $h(x) = G - G \cdot c \cdot e^{-k \cdot x}$ zur Beschreibung der Bestandsentwicklung
in der Sättigungsphase erfüllt die Differentialgleichung zum begrenzten Wachstum: $y'(x) = k \cdot (G - y(x))$ |
Ziel ist es jetzt, den gesamten Wachstumsprozess mit einer Differentialgleichung zu charakterisieren. Wir kombinieren hierzu die Differentialgleichungen zum exponentiellen Wachstum in der Expansionsphase mit der Differentialgleichung zum begrenten Wachstum in der Sättigungsphase. Betrachte hierzu die folgende Differentialgleichung zum logistischen Wachstum:
$y'(x) = \frac{k}{G} \cdot y(x) \cdot (G - y(x))$
Die folgenden Überlegungen zeigen, dass diese Differentialgleichung die DGL zum exponentiellen Wachstum und die
DGL zum logistischen Wachstum beinhaltet
.
| Expansionsphase | Sättigungsphase |
|---|---|
|
In der Expansionsphase ist die Bestandsgröße noch sehr gering im Vergleich zur Wachstumsgrenze $G$.
In der Expansionsphase gilt also $G - y(x) \approx G$.
In dieser Phase kann man die DGL zum logistischen Wachstum in die DGL zum exponentiellen Wachstum vereinfachend überführen. $\begin{array}{lcl} y'(x) & = & \frac{k}{G} \cdot y(x) \cdot (G - y(x)) \\ & \approx & \frac{k}{G} \cdot y(x) \cdot G \\ & = & k \cdot y(x) \end{array}$ |
In der Sättigungsphase hat die Bestandsgröße die Wachstumsgrenze $G$ fast erreicht.
In der Sättigungsphase gilt also $y(x) \approx G$ bzw. $\frac{y(x)}{G} \approx 1$.
In dieser Phase kann man die DGL zum logistischen Wachstum in die DGL zum begrenzten Wachstum vereinfachend überführen. $\begin{array}{lcl} y'(x) & = & \frac{k}{G} \cdot y(x) \cdot (G - y(x)) \\ & = & k \cdot \frac{y(x)}{G} \cdot (G - y(x)) \\ & \approx & k \cdot 1 \cdot (G - y(x)) \\ & = & k \cdot (G - y(x)) \end{array}$ |
Die logistische DGL $y'(x) = \frac{k}{G} \cdot y(x) \cdot (G - y(x))$ beschreibt somit annähernd exponentielles Wachstum in der Expansionsphase und begrenztes Wachstum in der Sättigungsphase.
Logistisches Wachstum
Die Funktion $f$ beschreibe das Wachstum eines Bestandes. Es liegt ein logistisches Wachstum mit einer Grenze $G$ und dem Wachstumsfaktor $k$ vor, wenn die Funktion $f$ die folgende logistische Differentialgleichung erfüllt:
$y'(x) = \frac{k}{G} \cdot y(x) \cdot (G - y(x))$
Phasen eines logistischen Wachstums
Wenn die Funktion $f$ ein logistisches Wachstum mit der Grenze $G$ und dem Wachstumsfaktor $k$ beschreibt, dann gilt:
In einer Expansionsphase liegt annähernd ein exponentielles Wachstum mit der Wachstumskonstanten $k$ vor.
In einer Sättigungsphase liegt ein begrenztes Wachstum mit der Grenze $G$ und der Wachstumskonstanten $k$ vor.
Funktionen zur Beschreibung von logistischem Wachstum
Zur Beschreibung der Populationsentwicklung in allen Phasen suchen wir eine Lösung der Differentialgleichung zum logistischen Wachstum:
$y'(x) = \frac{k}{G} \cdot y(x) \cdot (G - y(x))$
Betrachte hierzu eine logistische Funktion mit folgender Funktionsgleichung:
$\displaystyle{f(x) = \frac{G}{1+c\cdot e^{-k \cdot x}}}$
Die Parameter $G$, $k$ und $c$ stehen dabei für positive reelle Zahlen.
Wenn man diese logische Funktion (mit der Quotienten- und Kettenregel) ableitet, erhält man:
$f'(x) = \frac{0 \cdot (1+c\cdot e^{-k \cdot x}) - G \cdot c \cdot e^{-k \cdot x} \cdot (-k)}{(1+c\cdot e^{-k \cdot x})^2} = \frac{k \cdot G \cdot c \cdot e^{-k \cdot x}}{(1+c\cdot e^{-k \cdot x})^2}$
Wenn man den Funktionsterm der logistischen Funktion in die rechte Seite der logistischen DGL einsetzt und dann vereinfacht, erhält man denselben Term:
$\begin{array}{lcl} \frac{k}{G} \cdot f(x) \cdot (G - f(x)) & = & \frac{k}{G} \cdot \frac{G}{1+c\cdot e^{-k \cdot x}} \cdot \left( G - \frac{G}{1+c\cdot e^{-k \cdot x}} \right) \\ & = & \frac{k}{G} \cdot \frac{G}{1+c\cdot e^{-k \cdot x}} \cdot \left( \frac{G \cdot (1+c\cdot e^{-k \cdot x})}{1+c\cdot e^{-k \cdot x}} - \frac{G}{1+c\cdot e^{-k \cdot x}} \right) \\ & = & \frac{k}{1+c\cdot e^{-k \cdot x}} \cdot \left( \frac{G+G \cdot c\cdot e^{-k \cdot x}}{1+c\cdot e^{-k \cdot x}} - \frac{G}{1+c\cdot e^{-k \cdot x}} \right) \\ & = & \frac{k}{1+c\cdot e^{-k \cdot x}} \cdot \frac{G \cdot c\cdot e^{-k \cdot x}}{1+c\cdot e^{-k \cdot x}} \\ & = & \frac{k \cdot G \cdot c\cdot e^{-k \cdot x}}{(1+c\cdot e^{-k \cdot x})^2} \end{array}$
Man erhält also das folgende zentrale Ergebnis.
Logistische Funktionen
Betrachte eine Funktion $f$ mit folgender Funktionsgleichung:
$\displaystyle{f(x) = \frac{G}{1+c\cdot e^{-k \cdot x}}}$
Die Parameter $G$, $k$ und $c$ stehen hier für positive reelle Zahlen. Man nennt solche Funktionen auch logistische Funktionen.
Jede logistische Funktion ist eine Lösung der logistischen Differentialgleichung $y'(x) = \frac{k}{G} \cdot y(x) \cdot (G - y(x))$.
Es fällt auf, dass der Parameter $c$ der logistischen Funktion nicht in der logistischen Differentialgleichung vorkommt. Der Parameter $c$ ist frei wählbar. Wenn ein Anfangsbestand $a$ vorgegeben ist, dann wählt man $c$ so, dass $f(0) = \frac{G}{1+c} = a$ gilt. Im folgenden Applet sind die Parameter passend zur vorgegebenen Bestandsentwicklung eingestellt.
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Wendepunkte von logistischen Funktionen
Wann wendet sich beim logistischen Wachstum der Wachstumsprozess von beschleunigtem zu gebremstem Wachstum? Die folgenden Überlegungen zeigen, wie man den Wendepunkt ermittelt.
Eigenschaften von logistischen Funktionen
Betrachte eine Funktion $f$ mit folgender Funktionsgleichung:
$\displaystyle{f(x) = \frac{G}{1+c\cdot e^{-k \cdot x}}}$
Die Parameter $G$, $k$ und $c$ stehen hier für positive reelle Zahlen.
Für jede solche Funktion gilt:
- $0 \lt f(x) \lt G$
- $f'(x) \gt 0$
- $f''(x) = 0$ genau dann, wenn $f(x) = \frac{G}{2}$
- $f(x) = \frac{G}{2}$ genau dann, wenn $x = \frac{\ln(c)}{k}$
Die Funktion $f$ hat also im Punkt $(\frac{\ln(c)}{k}|\frac{G}{2})$ einen Wendepunkt.
Begründungen:
-
$0 \lt f(x) \lt G$
Da die Parameter $G$ und $c$ positiv sind und da die $e$-Funktion nur positive Funktionswerte hat, gilt $f(x) > 0$.
Da $c\cdot e^{-k \cdot x} > 0$, ist $1+c\cdot e^{-k \cdot x} > 1$. Der Zähler $G$ wird also durch einen Nenner dividiert, der größer als $1$ ist. Hieraus ergibt sich, dass $f(x) \lt G$ gilt. -
$f'(x) \gt 0$
Die logistische Funktion erfüllt die logistische DGL. Es gilt also $f'(x) = k \cdot f(x) \cdot (G - f(x))$. Da $k$ positiv ist und $0 \lt f(x) \lt G$ gilt, muss $f'(x) > 0$ gelten. -
$f''(x) = 0$ genau dann, wenn $f(x) = \frac{G}{2}$
Die logistische Funktion erfüllt die logistische DGL. Es gilt also $f'(x) = k \cdot f(x) \cdot (G - f(x))$. Wie nutzen die DGL zur Bestimmung von $f''(x)$. Mit der Produktregel erhält man:
$f''(x) = k \cdot (f'(x) \cdot (G - f(x)) + f(x) \cdot (-f'(x))) = k \cdot f'(x) \cdot (G - 2f(x))$.
Da $f'(x) > 0$, erhält man: $f''(x) = 0$ genau dann, wenn $f(x) = \frac{G}{2}$. -
$f(x) = \frac{G}{2}$ genau dann, wenn $x = \frac{\ln(c)}{k}$
Die Bedingung $f(x) = \frac{G}{2}$ führt zur Gleichung $\frac{G}{1+c\cdot e^{-k \cdot x}} = \frac{G}{2}$. Durch Auflösen nach $x$ erhält man $x = \frac{\ln(c)}{k}$.
